Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть функция f(x) определена и является нечетной на отрезке [-П,П]:

Найдем коэффициенты

В первом интеграле делаем замену:

Тогда

Таким образом, нечетная на отрезке
[-П,П] функция f(x) будет
разлагаться в ряд Фурье
следующим

Пусть функция f(x) определена и является четной на отрезке [-П,П]:

Найдем коэффициенты

В первом интеграле делаем замену:

Тогда

Таким образом, четная на отрезке
[-П,П] функция f(x) будет
разлагаться в ряд Фурье
следующим

ПРИМЕРЫ.

1

Разложить в ряд Фурье функцию

РЕШЕНИЕ.

Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в ряд

Интеграл берем по частям:

Тогда ряд Фурье для данной функции будет иметь вид:

2

Разложить в ряд Фурье функцию

РЕШЕНИЕ.

Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в ряд

При n=1, 2, 3…:

Интеграл берем по частям:

Оставшийся интеграл снова берем по частям: