Систематическое интегрирование

Август 31, 2022

Главная
Математика
Систематическое интегрирование

Содержание

2. Содержание 1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно-рациональных функций. 3. Интегрирование тригонометрических функций. 4. Интегрирование простейших
3. Некоторые сведения о многочленах
4. Понятие многочлена Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число
5. Теорема Безу Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a
6. Доказательство Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени ,
7. Доказательство Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*) обращается в нуль, тогда и ,
8. Теоремы алгебры Теорема .Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень. Теорема. Всякий многочлен степени
9. Случай кратных действительных корней Если в разложении многочлена на множители некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то
10. Пример . Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.
11. Случай комплексных корней Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). Теорема.
12. Продолжение Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно сопряженными.Им соответствует множитель вида где
13. Случай кратных комплексных корней Если комплексные корни многочлена являются кратными, то этот многочлен с действительными коэффициентами
14. Интегрирование рациональных дробей
15. Рациональные дроби Рациональной дробью называется выражение вида , где - многочлены степеней n и m соответственно.
16. Рациональные дроби Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на по правилу деления многочленов, ее
17. Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида где k–целое положительное число ≥2, дискриминант квадратного трехчлена отрицателен,
18. Интегрирование простейших рациональных дробей Дробь 1-го типа: Дробь 2-го типа:
19. Пример интегрирования рациональной дроби Найдем Разложим знаменатель дроби на множители: Тогда Приведем дроби к общему знаменателю
20. Продолжение Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда А=2. При х=-2 20=-2С, а
21. Продолжение
22. Пример интегрирования рациональной дроби Вычислить Приведем выражение к общему знаменателю: .
23. Приравняем числители . Многочлены, стоящие в правой и левой частях этого соотношения тождественно равны, т. е.
24. Продолжение Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в разложение дроби на простейшие,
25. Продолжение
26. Интегрирование тригонометрических функций
27. Интегралы вида Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное положительное число, то
28. Примеры Вычислить . Отделим от нечетной степени косинуса один множитель, внесем под знак дифференциала синус и
29. Продолжение 2. Интегралы вида где m и n – четные положительные числа, вычисляют с помощью формул
30. Пример
31. Продолжение 3.Интегралы вида вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:
32. Пример Рассмотрим пример: =
33. Продолжение 4. Интегралы где вычисляют заменой Второй интеграл берут с помощью подстановки t=ctgx.
34. Пример Вычислим: Разложим интеграл на два интеграла..Получим
35. Продолжение 5.Такой же заменой можно брать интегралы целые числа одинаковой четности. Например,
36. Универсальная подстановка 6. Интегралы берут с помощью универсальной подстановки Откуда Например,
37. Продолжение 7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то удобнее пользоваться подстановкой tgx=t.
38. Пример
39. Интегрирование простейших иррациональностей
40. Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен 1.Интегралы вида берут, выделяя полный квадрат и вводя новую переменную.
41. Продолжение 2. Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки где n–наименьшее
42. Тригонометрические подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью тригонометрических подстановок. 1.
43. Тригонометрические подстановки 2. 3.
45. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
1.Некоторые сведения о многочленах
2. Интегрирование дробно-рациональных функций.
3. Интегрирование тригонометрических

функций.
4. Интегрирование простейших иррациональностей.

Слайд 3

Некоторые сведения о многочленах

Слайд 4

Понятие многочлена
Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной

целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Слайд 5

Теорема Безу
Число a является корнем многочлена
тогда и

только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

Слайд 6

Доказательство
Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно

в частном получится многочлен степени , а в остатке от деления число, то есть
(*)
Тогда если x=a–корень многочлена , то
и, подставляя x=a, в обе части равенства (*), получим r=0.

Слайд 7

Доказательство
Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*) обращается

в нуль, тогда и ,
то есть x=a–корень .
Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

Слайд 8

Теоремы алгебры
Теорема .Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один

корень.
Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Слайд 9

Случай кратных действительных корней
Если в разложении многочлена на множители некоторые

линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:
При этом . В этом случае корни называются корнями кратности соответственно.

Слайд 10

Пример

.
Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.

Слайд 11

Случай комплексных корней
Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n

корней (действительных или комплексных).
Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Слайд 12

Продолжение
Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно

сопряженными.Им соответствует множитель вида
где дискриминант отрицателен.

Слайд 13

Случай кратных комплексных корней
Если комплексные корни многочлена являются кратными, то

этот многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители согласно формуле
где

Слайд 14

Интегрирование рациональных дробей

Слайд 15

Рациональные дроби
Рациональной дробью называется
выражение вида , где -

многочлены степеней n и m соответственно. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае -неправильной.

Слайд 16

Рациональные дроби
Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на

по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где -
некоторый многочлен, а -
правильная рациональная дробь.

Слайд 17

Простейшие рациональные дроби
Правильные рациональные дроби вида
где k–целое положительное число ≥2,

дискриминант квадратного трехчлена
отрицателен, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Слайд 18

Интегрирование простейших рациональных дробей
Дробь 1-го типа:
Дробь 2-го типа:

Слайд 19

Пример интегрирования рациональной дроби
Найдем
Разложим знаменатель дроби на множители:

Тогда
Приведем дроби к общему знаменателю и освободимся от знаменателя.

Слайд 20

Продолжение
Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда

А=2. При х=-2 20=-2С, а С=-10. Приравнивая коэффициенты при в обеих частях тождества, получаем 3=А+В, а так как А=2 , то В=1. Имеем

Слайд 21

Продолжение

Слайд 22

Пример интегрирования рациональной дроби
Вычислить
Приведем выражение к общему знаменателю: .

Слайд 23

Приравняем числители
. Многочлены, стоящие в правой и левой частях

этого соотношения тождественно равны, т. е. равны коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего соотношения.

Продолжение

Слайд 24

Продолжение
Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в

разложение дроби на простейшие, получим

Слайд 25

Продолжение

Слайд 26

Интегрирование тригонометрических функций

Слайд 27

Интегралы вида
Если хотя бы одно из чисел m или n

- нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Слайд 28

Примеры
Вычислить .
Отделим от нечетной степени косинуса один множитель, внесем

под знак дифференциала синус и получим:

Слайд 29

Продолжение
2. Интегралы вида
где m и n – четные положительные

числа, вычисляют с помощью формул понижения степени:

Слайд 30

Пример

Слайд 31

Продолжение
3.Интегралы вида
вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по

формулам:

Слайд 32

Пример
Рассмотрим пример:
=

Слайд 33

Продолжение
4. Интегралы где вычисляют заменой
Второй интеграл берут с помощью подстановки

t=ctgx.

Слайд 34

Пример
Вычислим:
Разложим интеграл на два интеграла..Получим

Слайд 35

Продолжение
5.Такой же заменой можно брать интегралы
целые числа
одинаковой четности.

Например,

Слайд 36

Универсальная подстановка
6. Интегралы берут с помощью универсальной подстановки
Откуда
Например,

Слайд 37

Продолжение
7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то

удобнее пользоваться подстановкой tgx=t.
Тогда

Слайд 38

Пример

Слайд 39

Интегрирование простейших иррациональностей

Слайд 40

Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен
1.Интегралы вида
берут, выделяя полный квадрат

и вводя новую переменную.

Слайд 41

Продолжение
2. Интегралы вида
вычисляют с помощью подстановки
Интегралы вида вычисляют с

помощью подстановки
где n–наименьшее общее кратное чисел m и k.

Слайд 42

Тригонометрические подстановки
Интегралы вида
вычисляют с помощью тригонометрических подстановок.
1.

Слайд 43

Систематическое интегрирование

Содержание

Содержание 1.Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно-рациональных функций.3. Интегрирование тригонометрических

Некоторые сведения о многочленах

Понятие многочлена Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной

Теорема Безу Число a является корнем многочлена тогда и

Доказательство Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно

Доказательство Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*) обращается

Теоремы алгебры Теорема .Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один

Случай кратных действительных корней Если в разложении многочлена на множители некоторые

Пример . Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.

Случай комплексных корней Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n

Продолжение Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно

Случай кратных комплексных корней Если комплексные корни многочлена являются кратными, то

Интегрирование рациональных дробей

Рациональные дроби Рациональной дробью называется выражение вида , где -

Рациональные дроби Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на

Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби видагде k–целое положительное число ≥2,

Интегрирование простейших рациональных дробей Дробь 1-го типа:Дробь 2-го типа:

Пример интегрирования рациональной дроби Найдем Разложим знаменатель дроби на множители:

Продолжение Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда

Продолжение

Пример интегрирования рациональной дроби ВычислитьПриведем выражение к общему знаменателю: .

Приравняем числители . Многочлены, стоящие в правой и левой частях

ПродолжениеОтсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в

Продолжение

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида Если хотя бы одно из чисел m или n

Примеры Вычислить . Отделим от нечетной степени косинуса один множитель, внесем

Продолжение 2. Интегралы вида где m и n – четные положительные

Пример

Продолжение 3.Интегралы вида вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по

Пример Рассмотрим пример:=

Продолжение 4. Интегралы где вычисляют заменойВторой интеграл берут с помощью подстановки

ПримерВычислим:Разложим интеграл на два интеграла..Получим

Продолжение 5.Такой же заменой можно брать интегралы целые числа одинаковой четности.

Универсальная подстановка6. Интегралы берут с помощью универсальной подстановки Откуда Например,

Продолжение7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то

Пример

Интегрирование простейших иррациональностей

Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен 1.Интегралы вида берут, выделяя полный квадрат

Продолжение 2. Интегралы вида вычисляют с помощью подстановкиИнтегралы вида вычисляют с

Тригонометрические подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью тригонометрических подстановок.1.

Тригонометрические подстановки2.3.

Похожие презентации

Содержание
1.Некоторые сведения о многочленах
2. Интегрирование дробно-рациональных функций.
3. Интегрирование тригонометрических

Понятие многочлена
Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной

Теорема Безу
Число a является корнем многочлена
тогда и

Доказательство
Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно

Доказательство
Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*) обращается

Теоремы алгебры
Теорема .Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один

Случай кратных действительных корней
Если в разложении многочлена на множители некоторые

Пример

.
Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.

Случай комплексных корней
Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n

Продолжение
Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно

Случай кратных комплексных корней
Если комплексные корни многочлена являются кратными, то

Рациональные дроби
Рациональной дробью называется
выражение вида , где -

Рациональные дроби
Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на

Простейшие рациональные дроби
Правильные рациональные дроби вида
где k–целое положительное число ≥2,

Интегрирование простейших рациональных дробей
Дробь 1-го типа:
Дробь 2-го типа:

Пример интегрирования рациональной дроби
Найдем
Разложим знаменатель дроби на множители:

Продолжение
Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда

Пример интегрирования рациональной дроби
Вычислить
Приведем выражение к общему знаменателю: .

Приравняем числители
. Многочлены, стоящие в правой и левой частях

Продолжение
Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в

Интегралы вида
Если хотя бы одно из чисел m или n

Примеры
Вычислить .
Отделим от нечетной степени косинуса один множитель, внесем

Продолжение
2. Интегралы вида
где m и n – четные положительные

Продолжение
3.Интегралы вида
вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по

Пример
Рассмотрим пример:
=

Продолжение
4. Интегралы где вычисляют заменой
Второй интеграл берут с помощью подстановки

Пример
Вычислим:
Разложим интеграл на два интеграла..Получим

Продолжение
5.Такой же заменой можно брать интегралы
целые числа
одинаковой четности.

Универсальная подстановка
6. Интегралы берут с помощью универсальной подстановки
Откуда
Например,

Продолжение
7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то

Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен
1.Интегралы вида
берут, выделяя полный квадрат

Продолжение
2. Интегралы вида
вычисляют с помощью подстановки
Интегралы вида вычисляют с

Тригонометрические подстановки
Интегралы вида
вычисляют с помощью тригонометрических подстановок.
1.

Тригонометрические подстановки
2.
3.