Содержание
- 2. Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается . Если при ряд сходится,
- 3. Пример функционального ряда Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: . Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель
- 4. Степенные ряды Определение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд является степенным по степеням .
- 5. Интервал сходимости степенного ряда Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости
- 6. Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем
- 7. Продолжение В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: . За
- 8. Примеры Найти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).
- 9. Примеры Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его с гармоническим рядом).
- 10. Примеры Найти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = = =
- 11. Продолжение = . Но 0 Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .
- 12. Пример Найти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше
- 13. Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке
- 14. Почленное дифференцирование 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом
- 15. Почленное интегрирование 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости
- 16. Разложение функций в степенные ряды
- 17. Определения Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в
- 18. Степенной ряд как ряд Тейлора Теорема. Если в некоторой окрестности точки , то ряд справа есть
- 19. Формула Тейлора Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Разность
- 20. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Тогда
- 21. Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x) Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд
- 22. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и
- 23. Разложение Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1.
- 24. Разложение в ряд синуса. Вычислим производные синуса:
- 25. Продолжение Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который
- 26. Разложения некоторых функций в ряд Тейлора При решении задач удобно пользоваться разложениями: 1. 2. 3.
- 27. Продолжение Геометрическую прогрессию мы получили выше: 4. Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд:
- 28. Биномиальный ряд 6. 7. Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).
- 29. Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд,
- 30. Применение степенных рядов
- 31. Приближенное вычисление интегралов Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать
- 32. Решение Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
- 33. Продолжение Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого
- 34. Продолжение Вычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следующие за ним члены ряда,
- 35. Приближенное вычисление значений функций Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и
- 37. Скачать презентацию