Системы линейных алгебраических уравнений

Здесь - неизвестные;
- коэффициенты при неизвестных,
где - номер уравнения,

Система наз. неоднородной, если не все равны нулю.
Система наз. однородной, если

Матрица системы

Расширенная матрица

Решением системы будем называть
упорядоченный набор чисел
обращающий каждое уравнение

Решить систему — значит найти
все ее решения или доказать, что

Если система не имеет решений, то
она называется несовместной.
Система, имеющая более

Две системы, множества решений
которых совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование, применение которого
превращает систему

Метод Гаусса

Рассмотрим квадратную систему:

~

(-4)

(-3)

(-5)

+

+

+

(-2)

(-5)

2

+

+

(-39)

+

~

Полученная матрица соответствует системе:

~

(-3)

(-2)

+

+

~

~

(-2)

+

~

~

Рассмотрим минор
назовем его базисным. Тогда
базисные переменные.

Метод Жордана-Гаусса

a

c

b

d

разрешающая

разрешающий

строка

столбец

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

Матричный метод

С помощью этого метода можно
решать квадратные системы
линейных уравнений

Систему можно записать в виде
где

(1)

Если матрица невырожденная, то
можно выполнить преобразования

(2)

Метод Крамера

Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то

Здесь – определитель,
получающийся из определителя
заменой i-го столбца столбцом
свободных

Если и по крайне мере один из определителей , то система

Система не имеет решения, т.к.
первое и третье уравнения
противоречивы

Второе уравнение получается
умножением первого на два. Данная система
равносильна системе
Система

Т е о р е м а К р о н

Замечание. Пусть система совместна и
если число уравнений равно числу неизвестных, причем

(-2)

(-5)

~

(-2)

~

Однородные системы