Системы случайных величин

Август 12, 2022

Главная
Математика
Системы случайных величин

Содержание

2. n–мерной СВ или системой n случайных величин. Например, положение точки на плоскости определяется двумя числами –
3. Тогда закон распределения системы двух случайных величин (X, Y) задается матрицей распределения, представленной в виде таблицы:
4. Здесь pij = P(X = xi, Y = yj). Так как все возможные комбинации { X
5. P(X = xi) = pi1+ pi2+ …+ pij + …+ pim = Σ pij – суммирование
6. Y X 0 0,2 0,5 0,1 0,2 0,4 0,1 0 0,2 0 0,3 0 0,1 0,3
7. Найти ЗР каждой СВ. х1=0,1: ЗР СВ Х: Х 0,1 0,2 0,4 Р 0,3 0,3 0,4
8. Числовые характеристики системы двух СВ Числовыми характеристиками системы двух СВ являются начальные и центральные моменты различных
9. Определение 2. Центральным моментом порядка k + s называется = Рассмотрим начальные и центральные моменты первого
10. Определение 3. Центральный момент называется ковариацией или корреляционным моментом и вычисляется по формуле:
11. Свойства ковариации 1) cov (X, X) = M((X – M(X))(X – M(X))) = = M(X –
12. Если то СВ X и Y коррелированны, т. е. связаны корреляционной зависимостью. Если же то СВ
13. Вернемся к примеру о портфеле акций и дадим экономический смысл начальным и центральным моментам первого и
14. D(X) или – степень разброса норм прибыли первого типа акций, следовательно, степень риска инвестиционного проекта Х.
15. риск разориться. Если cov (X, Y) одни акции идут вверх, а другие вниз, или, наоборот, следовательно,
16. коэффициент корреляции . М(Х) = 0,1*0,3 + 0,2*0,3 + 0,4*0,4 = 0,25; M(Y) = 0*0,2 +
17. = 0.1*0*0.1+ 0.1*0.2*0 + 0.1*0.5*0.2 + 0.2*0*0 + + 0.2*0.2*0.3 + 0.2*0.5*0 + 0.4*0*0.1 + 0.4*0.2*0.3
18. Определение. Условным законом распределения одной из СВ, входящих в систему (X,Y), называ- ется ЗР СВ Y
19. Например, Найдем условные законы распределения и условные математические ожидания.
20. При Х = Тогда условный закон распределения СВ Y при будет: Y 0 0,2 0,5 Математическое
21. При Y 0 0,2 0,5
22. При Y 0 0,2 0,5
23. При X 0,1 0,2 0,4 M(X/Y=0) = и т. д.
24. Определение. Случайные величины Х и Y, образующие систему, называются независимыми, если З.Р. одной из них не
26. Скачать презентацию

Слайд 2

n–мерной СВ или системой n случайных величин.
Например, положение точки

на плоскости
определяется двумя числами – х и y.

Двумерная СВ обозначается (X, Y), a n- мерная
СВ обозначается (X1, X2,…, Xn).

Рассмотрим систему двух дискретных СВ (X, Y).

Пусть СВ Х принимает n значений х1, х2,…, хn,
а СВ Y принимает m значений y1, y2,…, ym.

Через pij обозначим вероятность того, что
СВ Х примет значение xi, а СВ Y примет значе-
ние yj.

(i = 1,n; j = 1,m).

Слайд 3

Тогда закон распределения системы двух
случайных величин (X, Y) задается

матрицей
распределения, представленной в виде таблицы:

…

p11

p12

…

p1j

…

p1m

p21

p22

…

p2j

…

p2m

…

pi1

pi2

…

pij

…

pim

…

pn1

pn2

…

pnj

…

pnm

Слайд 4

Здесь pij = P(X = xi, Y = yj).
Так как все

возможные комбинации { X = xi, Y = yj},

(i = 1,n; j = 1,m) образуют полную группу собы- тий, то

pij = 1 .

Зная матрицу распределения системы двух СВ,
можно найти ЗР каждой из них в отдельности.

События { X = xi, Y = yj} являются несовмест-
ными, поэтому

Слайд 5

P(X = xi) = pi1+ pi2+ …+ pij + …+ pim

pij

–

суммирование по i-й строке .

P(Y = yj) = p1j+ p2j+ …+ pij + …+ pnj =

pij

–

суммирование по j-му столбцу.

Пример. Имеется портфель акций, состоящий
из двух типов акций, отличающихся по ожидаемым

нормам прибыли. Матрица распределения норм
прибыли имеет вид:

Слайд 6

Y
X
0
0,2
0,5
0,1
0,2
0,4
0,1
0
0,2
0
0,3

0,1

0,3

Слайд 7

Найти ЗР каждой СВ.
х1=0,1:
ЗР СВ Х:
Х
0,1
0,2
0,4
Р
0,3
0,3
0,4
ЗР СВ Y:
:
:
:
:
:

Слайд 8

Числовые характеристики системы двух СВ
Числовыми характеристиками системы двух СВ
являются начальные

и центральные моменты
различных порядков.

Определение 1. Начальным моментом порядка

k + s называется математическое ожидание произ-
ведения

Слайд 9

Определение 2. Центральным моментом порядка
k + s называется
=
Рассмотрим

начальные и центральные моменты
первого и второго порядков, где порядок – это k + s .

Слайд 10

Определение 3. Центральный момент
называется ковариацией или корреляционным
моментом и вычисляется по

формуле:

Слайд 11

Свойства ковариации
1) cov (X, X) = M((X – M(X))(X – M(X)))

= M(X – M(X)) = D(X);

2) можно представить:

cov (X, Y) = M(XY) – M(X)M(Y);

3) Если X и Y – не зависимы, то cov (X, Y) = 0.

Определение 4. Коэффициентом корреляции
называется отношение

Слайд 12

Если то СВ X и Y коррелированны,
т. е. связаны корреляционной

зависимостью.
Если же

то СВ X и Y не коррелированны.

Из условия, что СВ X и Y коррелированны,
следует, что они зависимы, но из зависимости X и Y

не следует, что они коррелированны,так как кроме
корреляционной существуют еще и другие виды
зависимости.

Если то связь между X и Y – тесная,

а если т. е. близок к 0, то связь между

X и Y – слабая.

Слайд 13

Вернемся к примеру о портфеле акций и дадим
экономический смысл

начальным и центральным
моментам первого и второго порядков.

М(Х) и М(Y) – ожидаемые нормы прибыли
по двум типам акций.

Слайд 14

D(X) или
– степень разброса норм
прибыли первого типа акций, следовательно,

степень
риска инвестиционного проекта Х.

D(Y) или

показывает степень риска

инвестиционного проекта Y.

cov (X, Y) показывает:

1) вариацию норм прибыли по двум типам акций;

2) тенденцию движения двух типов акций
вверх и вниз.

Если cov (X, Y) > 0 и достаточно большая, то обе
группы акций двигаются одинаково: обе вверх или обе

вниз, следовательно, при покупке этих акций есть

Слайд 15

риск разориться.
Если cov (X, Y) < 0 и достаточно

большая, то
одни акции идут вверх, а другие вниз, или, наоборот,

следовательно, такой портфель акций достаточно
стабилен.

Пример (продолжение). Вычислим начальные и
центральные моменты:

= cov (X, Y) ,

Слайд 16

коэффициент корреляции
.
М(Х) = 0,10,3 + 0,20,3 + 0,4*0,4 = 0,25;

M(Y) = 0*0,2 + 0,2*0,6 + 0,5*0,2 = 0,22;

D(X) =

= 0,0165;

= 0,0256;

Слайд 17

= 0.100.1+ 0.10.20 + 0.10.50.2 + 0.200 +
+ 0.20.20.3 + 0.20.50

+ 0.4*0*0.1 + 0.4*0.2*0.3 +

+ 0.4*0.5*0 – 0.25*0.22 = – 0.009;

Так как cov (X, Y) < 0, то одни акции идут вверх,
а другие вниз, но cov (X, Y) мала, кроме того

поэтому СВ X и Y коррелированны, но связь между ними слабая. Такой портфель акций не слишком стабилен.

Слайд 18

Определение. Условным законом распределения
одной из СВ, входящих в систему (X,Y),

называ-

ется ЗР СВ Y при условии, что

или ЗР СВ Х при условии, что

По теореме умножения вероятностей зависимых
событий

P(AB) = P(A)*P(B/A).

Отсюда

Аналогично:

Слайд 19

Например,
Найдем условные законы распределения и условные
математические ожидания.

Слайд 20

При Х =
Тогда условный закон распределения СВ Y при
будет:
Y

0,2

0,5

Математическое ожидание:

Слайд 21

При
Y
0
0,2
0,5

Слайд 22

При
Y
0
0,2
0,5

Слайд 23

При
X
0,1
0,2
0,4
M(X/Y=0) =
и т. д.

Слайд 24

Определение. Случайные величины Х и Y,
образующие систему, называются независимыми,

если З.Р. одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая С. В.

Необходимым и достаточным условием
независимости дискретных С.В. Х и Y является
равенство:

(i = 1, … , n; j = 1, … , m).

В нашем примере

Проверим, выполняется ли условие независимости
для С. В. Х и Y.

Системы случайных величин

Содержание

n–мерной СВ или системой n случайных величин. Например, положение точки

Тогда закон распределения системы двух случайных величин (X, Y) задается

Здесь pij = P(X = xi, Y = yj).Так как все

P(X = xi) = pi1+ pi2+ …+ pij + …+ pim

YX0 0,2 0,5 0,1 0,2 0,4 0,1 0 0,2 0 0,3

Найти ЗР каждой СВ.х1=0,1: ЗР СВ Х: Х0,10,20,4Р0,30,30,4ЗР СВ Y: :::::

Числовые характеристики системы двух СВ Числовыми характеристиками системы двух СВявляются начальные

Определение 2. Центральным моментом порядкаk + s называется= Рассмотрим

Определение 3. Центральный момент называется ковариацией или корреляционныммоментом и вычисляется по

Свойства ковариации1) cov (X, X) = M((X – M(X))(X – M(X)))

Если то СВ X и Y коррелированны, т. е. связаны корреляционной

Вернемся к примеру о портфеле акций и дадим экономический смысл

D(X) или – степень разброса норм прибыли первого типа акций, следовательно,

риск разориться. Если cov (X, Y) < 0 и достаточно

коэффициент корреляции .М(Х) = 0,1*0,3 + 0,2*0,3 + 0,4*0,4 = 0,25;

= 0.1*0*0.1+ 0.1*0.2*0 + 0.1*0.5*0.2 + 0.2*0*0 ++ 0.2*0.2*0.3 + 0.2*0.5*0

Определение. Условным законом распределения одной из СВ, входящих в систему (X,Y),

Например, Найдем условные законы распределения и условные математические ожидания.

При Х = Тогда условный закон распределения СВ Y при будет:Y

При Y 0 0,2 0,5

При Y 0 0,2 0,5

При X 0,1 0,2 0,4 M(X/Y=0) = и т. д.

Определение. Случайные величины Х и Y, образующие систему, называются независимыми,

Похожие презентации

n–мерной СВ или системой n случайных величин.
Например, положение точки

Тогда закон распределения системы двух
случайных величин (X, Y) задается

Здесь pij = P(X = xi, Y = yj).
Так как все

Y
X
0
0,2
0,5
0,1
0,2
0,4
0,1
0
0,2
0
0,3

Найти ЗР каждой СВ.
х1=0,1:
ЗР СВ Х:
Х
0,1
0,2
0,4
Р
0,3
0,3
0,4
ЗР СВ Y:
:
:
:
:
:

Числовые характеристики системы двух СВ
Числовыми характеристиками системы двух СВ
являются начальные

Определение 2. Центральным моментом порядка
k + s называется
=
Рассмотрим

Определение 3. Центральный момент
называется ковариацией или корреляционным
моментом и вычисляется по

Свойства ковариации
1) cov (X, X) = M((X – M(X))(X – M(X)))

Если то СВ X и Y коррелированны,
т. е. связаны корреляционной

Вернемся к примеру о портфеле акций и дадим
экономический смысл

D(X) или
– степень разброса норм
прибыли первого типа акций, следовательно,

риск разориться.
Если cov (X, Y) < 0 и достаточно

коэффициент корреляции
.
М(Х) = 0,10,3 + 0,20,3 + 0,4*0,4 = 0,25;

= 0.100.1+ 0.10.20 + 0.10.50.2 + 0.200 +
+ 0.20.20.3 + 0.20.50

Определение. Условным законом распределения
одной из СВ, входящих в систему (X,Y),

Например,
Найдем условные законы распределения и условные
математические ожидания.

При Х =
Тогда условный закон распределения СВ Y при
будет:
Y

При
Y
0
0,2
0,5

При
Y
0
0,2
0,5

При
X
0,1
0,2
0,4
M(X/Y=0) =
и т. д.

Определение. Случайные величины Х и Y,
образующие систему, называются независимыми,