Случайные события. Понятие вероятности события

1. Испытания и события

Чтобы каким-то образом оценить событие, необходимо учесть или

Событие рассматривают, как результат испытания (опыта).
События обозначают заглавными буквами латинского

Виды событий

событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти,

Пример.
Испытание - подбрасывание игральной кости.
События (исходы):
А – выпало четное

2. Виды случайных событий

События называются несовместными, если они вместе не могут

События называются единственно возможными, если в результате опыта появление одного из

События называются равновозможными, если ни у одного из них нет преимущества

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них

Пример.
В аптеку принимаются на реализацию лекарственные препараты от двух поставщиков.

События:
A- отсутствие поставок;
B- поступление товара от одного из

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из противоположных событий обозначить через A, то другое обозначают

Пример.
Брошена монета.
События:
- «появился герб»;
-«появилась надпись».

3. Классическое определение вероятности

Одной из главных задач в теории вероятностей является

Вероятностью события А - называется число, равное отношению числа исходов, благоприятствующих

Свойства вероятности

Вероятность достоверного события равна единице;
Вероятность невозможного события равна нулю;
Вероятность случайного

4. Статистическое определение вероятности

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в

Относительная частота события А определяется формулой
где m-число появлений события, n –

Пример.
Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Чему равна частота рождения

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, делаем вывод: определение вероятности

Вероятностью события А - называется число, около которого группируются значения относительной

5. Алгебра событий

Суммой событий
называется событие, состоящее в появлении хотя

Если А и В совместные события, то их сумма A+В обозначает

Пример.
Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В).

Пример.
Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В).

Произведением событий
называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий:

Пример.
Событие, состоящее в одновременной продаже в аптеке двух препаратов, является

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже

Пример.
В коробке содержится 3 белых и 3 желтых шара. Из

Решение. После первого испытания в коробке осталось 5 шаров, из них

Тема. Основные формулы для вычисления вероятностей событий

План:
1. Формула полной вероятности.
2.

1. Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь

Пример. На склад поступили хирургические зажимы с трех станков. На первом

Решение.
Введем обозначения:
А – выбранный наугад хирургический зажим оказался высшего сорта;
B1-

2. Формулы Байеса

Пусть событие А происходит одновременно с одним из n

Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности.
Требуется найти

Полученные формулы называют формулами Байеса, по имени английского священника и математика

Пример.
В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров,

Решение.
А – при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и

Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран первый ящик, составляет
Вероятность

Вероятность того, что вынутый шар оказался черным:

Искомая вероятность, того что черный шар был вынут из первого ящика

3. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых

Пример.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р=0,8.
Найти

Решение.
n=6; k=4; p=0,8; q=0,2.

4. Формула Пуассона

Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом

Пример.
Предприятие изготовило и отправило заказчику 100000 пробирок.
Вероятность того, что

Решение.
По условию, n=100000; p=0,0001; m=3.