Случайные величины. (Лекция 3.2)

и плотность распределения
двумерной случайной величины
3. Числовые характеристики
двумерной случайной величины

– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.
2. «Математика для экономистов от арифметики до эконометрики: базовый курс / Под ред. профессора Н.Ш. Кремера. – М.: «ИД Юрайт», 2012.
3. «Математика: Математический анализ. Дифференци-альные уравнения. Теория вероятностей. Математи-ческая статистика». Учебно-методическое пособие / Под ред. А.Н. Данчула. М.: Изд-во РАГС, 2004.

то или иное значение из некоторой совокупности своих возможных значений, причем заранее неизвестно какое именно.
Определение.
Если результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин Х1, Х2, ..., Хn, то ее называют многомерной (n - мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = (Х1, Х2,...,Хn).

системой случайных величин Х1, Х2, ..., Хn, то ее называют многомерной (n - мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = (Х1, Х2,...,Хn).
Примеры многомерных случайных величин:
1. Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой n случайных величин Х1, Х2, ..., Хn — оценками по различным предметам, проставленными в приложении к диплому.
2. Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин: Х1 − температура; X2 − влаж-ность; Х3 − давление; Х4 − скорость ветра и т.п.
Случайные величины Х1, Х2,...,Хn, входящие в систему, могут быть как дискретными (пример 1), так и непрерывными (пример 2).

величины можно изобразить случайной точкой или случайным вектором плоскости Оху или трехмерного пространства Oxyz, при этом случайные величины X, Y или Х, Y, Z являются составляющими этих векторов.
В случае n-мерного пространства (n > 3) также говорят о случайной точке или случайном векторе этого пространства, хотя геометрическая интерпретация в этом случае теряет свою наглядность.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины является закон ее распределения.
При конечном множестве возможных значений многомерной случайной величины такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствую-щие им вероятности.

матрицы располагаются вероятности произведе-ния событий рij = P[(X = xi) (Y = yj)].

.

.

Итоговые столбец или строка таблицы распределения (X,Y) пред-ставляют соответственно распределения одномерных составляющих (хi, pi) или (yj, pj).

одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просум-мировать вероятности рij из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.

уj то полученное распределение случайной величины X называется условным распределением X при условии Y = yj .
Вероятности pj (хi) или Р(хi | yj) этого распределения будут условными вероятностями события X = xi, найденными в пред-положении, что событие Y = yj произошло.
Из определения условной вероятности:
Аналогично условное распределение случайной величины Y при условии X = xi задается с помощью условных вероятностей:

таблице:
Найти:
а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y;
б) условные законы распределения случайной величины Х при
условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1;
в) вычислить P(Y < X) и P(Y ≥ X) .

= 1 с вероятностью р1 = 0,10 + 0,25 + 0,30 + 0,15 = 0,8;
X = 2 с вероятностью р2 = 0,10 + 0,05 + 0,00 + 0,05 = 0,2.

Решение.

0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,30

0,25

0,10

Следовательно ее закон распределения
X :

Аналогично закон распределения
Y :

2, получим, если вероятности рij, стоящие в последнем столбце исходной таблицы, разделим на их сумму, т.е. p (Y = 2) = 0,2.

Получим
XY=2 :

Аналогично для получения условного закона распределения Y при условии X = 1 вероятности рij, стоящие в первой строке исходной таблицы, делим на их сумму, т.е. на р (Х = 1) = 0,8.
Получим
YX=1 :

рij, из таблицы, для которых yj < xi :
Получим P(Y < X) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5.
Аналогично для нахождения вероятностей P(Y ≥ X) складываем вероятности событий рij, из таблицы, для которых yj ≥ xi
Получим P(Y ≥ X) = 0,30 + 0,15 + 0,05 = 0,5.

..., Хn) называется функция F (x1, x2, ..., xn), выражающая вероятность совместного выполнения n неравенств *:
X1 < x1, X2 < x2, ..., Xn < xn,
F (x1, x2, ..., xn) = P(X1 < x1, X2 < x2, ..., Xn < xn).
В двумерном случае для случайной величины (X, У) функция
распределения F (x, y) определяется равенством:
F (x, y)=P(X < x,Y < y).
* Функцию F (x1, x2, ..., xn) называют также совместной функцией распределения случайных величин Х1, Х2, ..., Хn

т.е.

двумерной (n = 2) случайной величины; при этом практически все понятия и утверждения, сформулированные для n = 2, могут быть перенесены и на случай n > 2.
Однако рассмотрение именно двумерной случайной величины позволяет сделать изложение наглядным и менее громоздким.

неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е. 0 < F(x,y) < 1.
Утверждение следует из того, что F (х,у) есть вероятность.
2. Функция распределения F(х,у) есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.
при х2 > х1 F(х2,у) ≥ F(x1, у), при у2 > у1 F(х, у2) ≥ F(x, y1).
Так как при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рисунке увеличивается, то вероятность попадания в него случайной точки (X,Y), т.е. функция распределения F (х, у), уменьшиться не может.
3. Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞, функция распределения F(х,у) равна нулю, т.е. F(x,-∞) = F(-∞,у) = F(-∞,-∞) = 0.
Функция распределения F (х,у) в отмеченных случаях равна нулю, так как события Х < -∞, Y < -∞ и их произведение представляют невозможные события.

(х, у) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:
F (x, +∞) = F1 (x) и F (+∞, y ) = F2 (y)
где F1 (x) и F2 (y) − функции распределения случайных величин X и Y, т.е. F1 (x) = P(X < x), a F2 (y) = P(Y < y).
Произведение события ( Х < х) и достоверного события ( Y < +∞) есть само событие ( X < х), следовательно, F (x, +∞) = Р ( Х < х) = F1 (x).
Аналогично можно показать, что F (+∞, y) = F2 (y).
5. Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения равна единице: F (+∞,+∞) = 1.
F (+∞,+∞) = 1 следует из того, что совместное осуществление достоверных событий ( X < +∞), ( Y < +∞) есть событие достоверное.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

величины есть неотрицательная функция, т.е. f (x,y) ≥ 0.
2. Вероятность попадания непрерывной двумерной величины (X, Y) в область D равна:
3. Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности f (x,y) по формуле:
4. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной
случайной величины равен единице:

Если вероятность попадания на отрезок [а,b] одномерной случайной величины геометрически выражается площадью фигуры, ограниченной сверху кривой распределения f (х) и опи-рающейся на отрезок [а,b], то вероятность попадания дву-мерной случайной величины в область D на плоскости Оху геометрически изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения f (х,у) и опирающегося на область D.

Функция распределения F(x,y) есть вероятность попада-ния в бесконечный квадрант D, который можно рассматри-вать как прямоугольник, ограниченный абсциссами – ∞ и х , а также ординатами — ∞ и у.

распределения ее одно-мерных составляющих Х и Y:
Дифференцируя функции распределения F1 (x) и F2 (y) соот-ветственно по аргументам х и у, получим плотности вероят-ности одномерных случайных величин Х и Y
т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности f (х,у) двумерной случайной величины по аргументу х дает плотность вероятности f2(у), а по аргументу у — плотность вероятности f1(x).

1.
Определить:
а) выражение совместной плотности
распределения двумерной случайной
величины (X, Y );
б) плотности вероятности одномерных
составляющих X и У ;
в) вероятность того, что расстояние от
точки M(x, y ) до начала координат будет меньше 1/3.
Решение.

С

величины (X,Y) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляю-щая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал).

получим
f (x,y) = f1 (х)·f2 (у),
т.е. для независимых непрерывных случайных величин X и Y их совместная плотность f (x,y) равна произведению плотностей вероят-ности f1 (х) и f2 (у) этих случайных величин.
Таким образом (теорема умножения плотностей распределений), независимость двух случайных величин X и Y означает, что условные плотности вероятности каждой из них совпадают с соответствующими «безусловными» плотностями, т.е.
fy (х) = f1 (х) и fx (у) = f2 (у).

Определение.
Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.
В противном случае случайные величины Х и Y называются зависимыми.

Определение.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если их совместная функция распределения F (x,y) представляется в виде произведения функций распределений F1 (x) и F2 (y) этих случайных величин, т.е.
F (x,y) = F1 (x)·F2 (y).
В противном случае, при невыполнении этого равенства, случайные величины Х и Y называются зависимыми.

X и Y — математические ожидания и дисперсии.
Так, для непрерывной случайной величины (X,Y) они определяются по формулам:

недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (Х,Y), так как не выражают степени зави-симости ее составляющих X и Y.
Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции.

2. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожида-нию их произведения минус произведение математических ожиданий, т.е.
Kxy = M(XY) − M(X) · M(Y) или Кху = M(XY) − ах · ау.
3. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е.
Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (ах,ау). Однако ковариация — величина размерная, что затрудняет ее использование.

произведению средних квадратических отклонений этих величин:
Из определения следует, что ρxy = ρyx = ρ. Очевидно также, что коэффициент корреляции есть безразмерная величина.

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1;1].
2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корре-ляции равен нулю, т.е. ρ = 0.
Из независимости случайных величин следует их некоррелированность (ρ = 0). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
3. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными вели-чинами существует линейная функциональная зависимость.

величин равно сумме произведения их математических ожиданий и ковариации этих случайных величин:
M(XY) = M(X)·M(Y) + Kxy,
Если Кху = 0, то
M(XY) = M(X)·M(Y),
т.е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий*.
2. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенная ковариация этих случайных величин:
D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2Kxy.
* В случае двух сомножителей достаточно менее жесткого требования (чем независимость) − некоррелированности случайных величин. В случае произ-вольного числа сомножителей требование независимости случайных величин должно быть сохранено.

условные математические ожидания Mx( Y ) и Му( Х ) и условные дисперсии Dx( Y ) и Dу( Х ).
Эти характеристики находятся по обычным формулам математического ожидания и дисперсии, в которых вместо вероятностей событий рi и pj или плотностей вероятности f1(х) и f2(y) используются условные вероятности pj (xi) и pi (yj) или условные плотности вероятности fy(x) и fх(у).
Например, для непрерывной случайной величины (X,Y)

Условное математическое ожидание случайной величины Y при X = х, т.е. Mx (Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии или просто регрессией Y по Х; аналогично Му (Х) называется функцией регрессии или просто регрессией X по Y.
Графики этих функций называются соответственно линиями регрессии (или кривыми регрессии) Y по Х и Х по Y.