Строительство бакалавриата. Приложения производной

Август 20, 2022

Главная
Математика
Строительство бакалавриата. Приложения производной

Содержание

2. 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 6.1 Теоремы о дифференцируемых функциях 6.2 Исследование функции и построение её графика 6.3
3. 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции 6.3.1 Нахождение наибольшего и наименьшего значений
4. 1) Найти производную первого порядка функции. 2) Найти критические точки 1-го рода, принадлежащие интервалу (a; b).
5. Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: а) [0; 6]; б) [-3; 3]. 6.3.1
6. Пример 6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ
7. 6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ Сравните полученные результаты с
8. 6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ Замечания. 1. Если функция
9. 6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ Замечания. 2. Если функция
10. 6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ Замечания. 3. Предыдущее замечание
11. 1. Убедиться, что заданный интервал принадлежит области определения D(f) функции у = f(x). 2. Найти производную
12. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении практических задач из различных дисциплин. Профессионально-ориентированные
13. 1) Этап построения модели. 1. Сформулировать задачу на математическом языке (математическая задача (1)). 2. Выявить в
14. 2) Этап решения. 6. Решить математическую задачу (2), используя соответствующие алгоритмы. 7. Решить математическую задачу (1),
15. Требуется оптимизировать затраты на постройку выставочного павильона объемом 1000 м3. Павильон должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда,
16. Математическая задача (1). Найти длину и ширину прямоугольного параллелепипеда при заданных условиях. 6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ
17. Тогда стоимость сооружения всего павильона: Выразим величину y через x и известные величины (объём). 6.3.2 ЗАДАЧИ
18. Область определения: Производная первого порядка: Критические точки 1-го рода: 6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ Решение 2) Этап
19. Докажем, что она является точкой минимума (1 способ). Производная второго порядка: Заметим, что поэтому Найденная критическая
20. Представим размеры павильона, общая стоимость сооружения которого наименьшая, с точностью до сантиметров. Длина павильона ширина павильона
21. 6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ Решение 3) Этап интерпретации. Рассчитаем стоимость сооружения частей павильона в рублях:
22. Задачи на оптимизацию и метод математического моделирования для их решения более подробно описан в методичке: 6.3.2
24. Скачать презентацию

Слайд 2

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.1 Теоремы о дифференцируемых функциях
6.2 Исследование функции и построение

её графика
6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Слайд 3

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
6.3.1 Нахождение наибольшего

и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале
6.3.2 Задачи на оптимизацию

Слайд 4

1) Найти производную первого порядка функции.
2) Найти критические точки 1-го рода,

принадлежащие интервалу (a; b).
3) Найти значения функции в этих точках.
4) Найти f(a) и f(b).
5) Сравнить полученные в пунктах 3) и 4) значения, выбрать из них наибольшее (М) и наименьшее (m), записать результат.

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ

Схема нахождения наибольшего (М) и наименьшего (m)
значений функции y = f(x) на отрезке [a; b]

Слайд 5

Пример
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке: а) [0; 6];

б) [-3; 3].

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ

критические точки 1-го рода

Слайд 6

Пример
6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

ИНТЕРВАЛЕ

Слайд 7

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

ИНТЕРВАЛЕ

Сравните полученные результаты с графиком функции

Слайд 8

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

ИНТЕРВАЛЕ

Замечания.
1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и возрастает (убывает) на нём, то

Слайд 9

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

ИНТЕРВАЛЕ

Замечания.
2. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и имеет только один экстремум на нём, то

Слайд 10

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

ИНТЕРВАЛЕ

Замечания.
3. Предыдущее замечание справедливо, если функция y = f(x) непрерывна на интервале (a; b) или на бесконечном промежутке

Слайд 11

1. Убедиться, что заданный интервал принадлежит области определения D(f) функции у

= f(x).
2. Найти производную функции f′(x).
3. Решить уравнение f′(x) = 0 и найти критическую точку 1-го рода, принадлежащую интервалу.

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА ИНТЕРВАЛЕ

Схема нахождения наибольшего (М) или наименьшего (m) значений функции y = f(x) на интервале, если функция имеет один экстремум

6. Найти максимум (минимум) функции, он и будет являться наибольшим (наименьшим) значением функции на заданном интервале.

Слайд 12

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении практических

задач из различных дисциплин.
Профессионально-ориентированные задачи (ПОЗ) позволяют исследовать некоторые проблемы из области профессиональной деятельности будущих бакалавров-строителей.
Среди проблем можно выделить следующие:
определение оптимальных размеров запланированных к строительству или изготовлению объектов,
минимизация денежных затрат в производстве и строительстве,
минимизация временных затрат,
организация производственного процесса с целью получения наибольшей прибыли и др.
Разрешение этих проблем связано с поиском оптимального решения, то есть с оптимизацией каких-либо параметров. Поэтому для успешной деятельности в выбранной Вами профессии необходимо научиться решать задачи подобного типа. Будем называть их задачами на оптимизацию.
Для их решения предлагается использовать метод математического моделирования.

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Слайд 13

1) Этап построения модели.
1. Сформулировать задачу на математическом языке (математическая задача

(1)).
2. Выявить в задаче оптимизируемую величину (указанием на неё является требование задачи о наименьшем или наибольшем её значении).
3. Составить аналитическую формулу для функции, описывающей оптимизируемую величину. Функция должна зависеть только от одного аргумента. Если неизвестных получилось более одного, то нужно взять одну из них за независимую переменную (аргумент), а другие неизвестные выразить через эту переменную и известные по условию задачи величины.
4. Установить по условию задачи реальные границы изменения аргумента (это может быть отрезок, полуинтервал или интервал).
5. Сформулировать задачу о нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на заданном промежутке или о нахождении точки из заданного промежутка, где функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения (математическая задача (2)).

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Схема исследования ПОЗ на оптимизацию

Слайд 14

2) Этап решения.
6. Решить математическую задачу (2), используя соответствующие алгоритмы.
7. Решить

математическую задачу (1), найдя требуемые величины.
3) Этап интерпретации.
8. Найти все необходимые величины в единицах, адекватных требованиям профессионально-ориентированной задачи, развёрнуто ответить на вопрос задачи.

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Схема исследования ПОЗ на оптимизацию

Указания
1) Ответы к математическим задачам не должны быть приближёнными!
2) Для интерпретации полученных результатов внимательно перечитайте условие профессионально-ориентированной задачи. Вычислите (точно или приближённо) требуемые параметры. Напишите ответ в терминах задачи.

Слайд 15

Требуется оптимизировать затраты на постройку выставочного павильона объемом 1000 м3. Павильон

должен иметь форму прямоугольного параллелепипеда, высота которого 6 м.

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Профессионально-ориентированная задача

Стоимость сооружения 1 м2 фасада равна 10.000 рублей, трёх других стен – 5000 рублей, крыши – 7000 рублей. Каковы должны быть размеры павильона, чтобы общая стоимость его сооружения была наименьшей? Отдельно рассчитать стоимость сооружения фасада, трех других стен и крыши.

Слайд 16

Математическая задача (1).
Найти длину и ширину прямоугольного параллелепипеда при заданных условиях.
6.3.2

ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Решение
1) Этап построения модели.

Рассчитаем стоимость сооружения фасада, других стен и крыши:
фасад
три другие стены
крыша

Слайд 17

Тогда стоимость сооружения всего павильона:
Выразим величину y через x и известные

величины (объём).

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Решение
1) Этап построения модели.

Итак, мы составили функцию одного аргумента:
Математическая задача (2).
Найти точку на интервале (0;+∞), в которой функция С(х) достигает своего наименьшего значения.

Слайд 18

Область определения:
Производная первого порядка:
Критические точки 1-го рода:
6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ
Решение
2) Этап

решения.

Учитывая, что
получаем - единственная критическая точка 1-го рода.

Слайд 19

Докажем, что она является точкой минимума (1 способ).
Производная второго порядка:
Заметим, что

поэтому
Найденная критическая точка является точкой минимума функции С(х).
Так как эта точка единственная на интервале, то именно в ней функция достигает своего наименьшего значения.
Математическая задача (2) решена.

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Решение
2) Этап решения.

Размеры прямоугольного параллелепипеда:
длина ширина
высота
Математическая задача (1) решена.

Слайд 20

Представим размеры павильона, общая стоимость сооружения которого наименьшая, с точностью до

сантиметров.
Длина павильона
ширина павильона
высота павильона

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Решение
3) Этап интерпретации.

Слайд 21

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ
Решение
3) Этап интерпретации.
Рассчитаем стоимость сооружения частей павильона в

рублях:

Слайд 22

Задачи на оптимизацию и метод математического моделирования для их решения более

подробно описан в методичке:

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

Колбина Е.В. Профессионально-ориентированные задачи по теме «Приложения дифференциального исчисления функции одного аргумента». [Электронный ресурс]: Методические указания и варианты заданий для студентов направления подготовки «Строительство» и специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений» / Е. В. Колбина ; Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. – Барнаул: АлтГТУ, 2015. – 56 с. : ил. – Режим доступа: http://elib.altstu.ru/eum/download/vm/Kolbina_zadachi.pdf

Строительство бакалавриата. Приложения производной

Содержание

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ6.1 Теоремы о дифференцируемых функциях6.2 Исследование функции и построение

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции6.3.1 Нахождение наибольшего

1) Найти производную первого порядка функции.2) Найти критические точки 1-го рода,

ПримерНайти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: а) [0; 6];

Пример6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

1. Убедиться, что заданный интервал принадлежит области определения D(f) функции у

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении практических

1) Этап построения модели.1. Сформулировать задачу на математическом языке (математическая задача

2) Этап решения.6. Решить математическую задачу (2), используя соответствующие алгоритмы.7. Решить

Требуется оптимизировать затраты на постройку выставочного павильона объемом 1000 м3. Павильон

Математическая задача (1).Найти длину и ширину прямоугольного параллелепипеда при заданных условиях.6.3.2

Тогда стоимость сооружения всего павильона:Выразим величину y через x и известные

Область определения:Производная первого порядка:Критические точки 1-го рода:6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮРешение2) Этап

Докажем, что она является точкой минимума (1 способ).Производная второго порядка:Заметим, что

Представим размеры павильона, общая стоимость сооружения которого наименьшая, с точностью до

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮРешение3) Этап интерпретации.Рассчитаем стоимость сооружения частей павильона в

Задачи на оптимизацию и метод математического моделирования для их решения более

Похожие презентации

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.1 Теоремы о дифференцируемых функциях
6.2 Исследование функции и построение

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
6.3.1 Нахождение наибольшего

1) Найти производную первого порядка функции.
2) Найти критические точки 1-го рода,

Пример
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке: а) [0; 6];

Пример
6.3.1 НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ И НА

1) Этап построения модели.
1. Сформулировать задачу на математическом языке (математическая задача

2) Этап решения.
6. Решить математическую задачу (2), используя соответствующие алгоритмы.
7. Решить

Математическая задача (1).
Найти длину и ширину прямоугольного параллелепипеда при заданных условиях.
6.3.2

Тогда стоимость сооружения всего павильона:
Выразим величину y через x и известные

Область определения:
Производная первого порядка:
Критические точки 1-го рода:
6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ
Решение
2) Этап

Докажем, что она является точкой минимума (1 способ).
Производная второго порядка:
Заметим, что

6.3.2 ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ
Решение
3) Этап интерпретации.
Рассчитаем стоимость сооружения частей павильона в