Схема исследования функций и построение графиков

3

Найти вертикальные асимптоты.

4

Исследовать поведение функции на
бесконечности и найти горизонтальные
или наклонные

6

Найти интервалы выпуклости функции
и точки перегиба.

7

Найти точки пересечения графика с осями
координат

Пример.

Исследовать функцию и построить
ее график

Решение:

1

Находим область определения функции.
Функция определена при всех значениях х, кроме

Следовательно,

Функция является четной, следовательно ее график будет симметричен относительно оси ординат.

Функция

При

слева

При

справа

Следовательно, прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

Аналогично можно проанализировать х=-1, но

Следовательно, y=-1 - горизонтальная асимптота.

Т.к.

то наклонных асимптот нет.

5

Найдем интервалы монотонности и

Исследуем знак производной при переходе через эту точку:

минимум

Интервалы монотонности функции:

Функция убывает на:

Функция возрастает на:

6

Найдем интервалы выпуклости и точки

Точек, в которых вторая производная обращается в ноль, нет. Поэтому точек

Интервалы выпуклости функции:

Функция выпукла вниз на:

Функция выпукла вверх на:

7

Найдем точки пересечения