Теорема Чевы

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Теорема Чевы

Содержание

2. Теорема Чевы (прямая) Пусть в ∆ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A1,
3. Доказательство Предположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. Через вершину С треугольника ABC
4. Обратная теорема Пусть для точек А , В , С , взятых на соответствующих сторонах треугольника
5. Следствия Теорема Чевы Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении
6. ЧЕВИАНА Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Таким образом, если
7. Задача 1 Дано: АВС - треугольник, Вписанная (или вневписанная) окружность касается прямых ВС, АС и АВ
8. Решение АВ1=АС1, ВС1 =ВА1, и СА1 = СВ1, причем в случае вписанной окружности на сторонах треугольника
10. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема Чевы (прямая)
Пусть в ∆ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях

взяты соответственно точки A1, B1 и C1,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Слайд 3

Доказательство
Предположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О.
Через вершину

С треугольника ABC
проведем прямую, параллельную АВ, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1
обозначим соответственно А2, В2. Из подобия 1)
треугольников СВ2В1 и АВВ1 имеем равенство
Аналогично, из подобия треугольников ВАА1 и СА2А1 2)
имеем равенство
Далее, из подобия треугольников BC1Oи В2СО,
AC 1O и А2СО имеем
Следовательно, имеет место равенство (3)
Перемножая равенства (1), (2) и (3), получим
требуемое равенство

Слайд 4

Обратная теорема
Пусть для точек А , В , С , взятых

на
соответствующих сторонах треугольника ABC,
выполняется равенство (*). Обозначим точку
пересечения прямых АА1 и ВВ1 через О и точку
пересечения прямых СО и АВ через С". Тогда, на
основании доказанного, имеет место равенство
Учитывая равенство (*), получим равенство
из которого следует совпадение точек С”
и С , значит, прямые АА1, BB1, СС1 пересекаются
в одной точке.

Слайд 5

Следствия Теорема Чевы
Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая

делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Слайд 6

ЧЕВИАНА
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне,

называется чевианой.
Таким образом, если в треугольнике АВС X, Y и Z- точки, лежащие на сторонах ВС, СА, АВ соответственно, то отрезки АX, ВY, СZ являются чевианами.
Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1687 году опубликовал следующую очень полезную теорему

Слайд 7

Задача 1
Дано:
АВС - треугольник,
Вписанная (или вневписанная) окружность касается прямых ВС,

АС и АВ в точках А1,В1 и С1.
Доказать:
что, прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Слайд 8

Решение
АВ1=АС1, ВС1 =ВА1,
и СА1 = СВ1, причем в случае
вписанной окружности

на
сторонах треугольника АВС
лежат три точки, а в случае
вневписанной – одна точка.
Воспользовавшись теоремой Чевы, получим что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Теорема Чевы

Содержание

Теорема Чевы (прямая)Пусть в ∆ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях

ДоказательствоПредположим, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О.Через вершину

Обратная теоремаПусть для точек А , В , С , взятых

Следствия Теорема Чевы Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая

ЧЕВИАНАОтрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне,

Задача 1Дано: АВС - треугольник,Вписанная (или вневписанная) окружность касается прямых ВС,

РешениеАВ1=АС1, ВС1 =ВА1, и СА1 = СВ1, причем в случаевписанной окружности

Похожие презентации