Теория чисел

Июль 24, 2022

Главная
Математика
Теория чисел

Содержание

2. Во времена Пифагора на человека, сказавшего, что неизвестное число можно обозначать буквой, посмотрели бы с удивлением.
3. ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА Треугольные числа 1; 3; 6; 10; 15; 21; … Пятиугольные числа 1; 5; 12;
4. Справедливость Пифагор и его ученики изображали числом 4 − оно является первым произведением двух равных множителей:
5. СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел. Делитель числа назвали правильным, если он
6. СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА Докажем, что число 496 – совершенное. Правильные делители числа 496: 1; 2; 4; 8;
7. ИСТОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ № 8 − 2305843008139952128, № 9 − 2658455991569831744654692615953842176, № 10 − 191561942608236107294793378084303638130997321548169216,
8. Похожим образом, Пифагор и его ученики, изображали числами дружбу − два числа называли дружественными, если каждое
9. ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА Дружественные числа открыли последователи Пифагора, которые, знали только одну пару таких чисел — 220
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Во времена Пифагора на человека, сказавшего, что неизвестное число можно обозначать

буквой, посмотрели бы с удивлением.
И Пифагор придумал замечательный способ доказывать общие утверждения о числах: он стал
изображать числа точками.

Натуральные числа бывают четные и нечетные.
Это знали задолго до Пифагора. Но Пифагор
стал думать о свойствах чисел.

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Доказывая свойства чисел, Пифагор
строил прямоугольники из точек.

Пифагор изображал
число 4 так: ∙∙∙∙,
а число 7 так: ∙∙∙∙∙∙∙

Слайд 3

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА
Треугольные числа
1; 3; 6; 10; 15; 21; …
Пятиугольные

числа
1; 5; 12; 22; 35; 51; …

Квадратные числа
1; 4; 9; 16; 25; 36; …

Квадратные пирамидальные числа
1, 5, 14, 30, 55, 91, …

Кубические числа

Слайд 4

Справедливость Пифагор и его ученики изображали числом 4 − оно

является первым произведением двух равных множителей: 4 = 2×2 .

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

Но фигурными числами Пифагор не удовлетворился.
Ведь он провозгласил, что числа правят миром.
Поэтому ему пришлось придумывать, как с
помощью чисел изображать такие понятия, как
справедливость, совершенство, дружба.

Слайд 5

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся
за делители

чисел. Делитель числа назвали
правильным, если он меньше самого числа.
Все правильные делители числа Пифагор складывал.
Если сумма делителей оказывалась меньше числа, то число
объявлялось недостаточным, а если больше − избыточным.
А если сумма делителей в точности равнялась числу, то число
объявляли совершенным.

Слайд 6

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
Докажем, что число 496 – совершенное.
Правильные делители числа 496:

1; 2; 4; 8; 16; 31, 62, 124, 248.
Сумма правильных делителей
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
Значит, число 496 − совершенное число.

Во времена Пифагора было известно три совершенных числа: 6; 28; 496 !

Пифагореец Ямвлих: «Всё совершенное редко встречается
в мире. Редко встречаются и совершенные числа».

Ямвлих
VI век до н.э.

Евклид
III век до н.э.

Евклид указал формулу для вычисления четных совершенных чисел: 2p - 1 ⋅ (2p - 1).

Леонард Эйлер
(1707 − 1783 гг.)

Русский математик
Л. Эйлер доказал утверждение,
указанное Евклидом.

Слайд 7

ИСТОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ
№ 8 − 2305843008139952128,
№ 9 − 2658455991569831744654692615953842176,

№ 10 − 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, …

Слайд 8

Похожим образом, Пифагор и его ученики, изображали
числами дружбу −

два числа называли дружественными,
если каждое из них равнялось сумме делителей другого
числа. Найти пример дружественных чисел потруднее.
Проверим, что «дружат» числа 220 и 284.
Делители 220: 1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55; 110; 220.
Сумма правильных делителей числа 220:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Делители числа 284: 1; 2; 4; 71; 142; 284.
Сумма правильных делителей числа 284.
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Вывод: Да, 220 и 284 дружественные числа.

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Слайд 9

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Дружественные числа открыли последователи Пифагора, которые, знали только

одну пару таких чисел —
220 и 284.

Много столетий спустя
Л. Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел.
Одна из них — 17296 и 18416.

Арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901) ввел формулу, по которой нашел две новые пары дружественных чисел.

На сентябрь 2007 года известно 11.994.387 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности.
Использование ЭВМ позволило отыскать несколько сотен пар дружественных чисел. Известны два двадцатипятизначных дружественных числа.