Теория множеств. Понятие множества

Июль 25, 2022

Главная
Математика
Теория множеств. Понятие множества

Содержание

2. Введение в дискретную математику Термин «дискретная математика» появился на рубеже 50-х и 60-х годов XX века.
3. Введение в дискретную математику Зачем нужна дискретная математика: для четкой формулировки и формализации понятий, объектов и
4. Введение в дискретную математику Разделы дискретной математики: Теория множеств Теория графов Теория автоматов Теория кодирования Комбинаторика
5. Теория множеств. Понятие множества Термин «множество» - фундаментальное понятие. Под множеством интуитивно понимают совокупность определенных, вполне
6. Теория множеств. Терминология Если x есть один из объектов множества А, то x есть элемент А,
7. Теория множеств. Примеры Примеры множеств: N = {1,2,3,4,…} M = {сентябрь, октябрь, ноябрь} P = {Анна,
8. Теория множеств. Терминология Пусть А и В – некоторые множества. А равно В (обозн. А =
9. Теория множеств. Терминология Множества могут содержать любое число элементов. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется
10. Теория множеств. Терминология Булеан (степень множества, показательное множество) – множество всех подмножеств заданного множества A. Обозн.
11. Теория множеств. Способы задания Задание перечислением. Явно указываем список элементов множества. Задание с помощью описания характеристических
12. Теория множеств. Способы задания 3) Задание с помощью порождающей процедуры. Процедура описывает способ получения элементов множества
13. Теория множеств. Диаграмма Эйлера-Венна Диаграмма Эйлера-Венна – это геометрические представления множеств. Построение диаграмм заключается в изображении:
14. Теория множеств. Операции Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только
15. Теория множеств. Операции Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые
16. Теория множеств. Операции Пусть А и В множества. Разностью множеств А\В называется множество всех тех и
17. Теория множеств. Операции Дополнение множества А (обозн. А‘ или Ā) - это множество элементов универсума, которые
18. Теория множеств. Операции Декартово (прямое) произведение множеств А и В (обозн. А × В) есть множество
19. Теория множеств. Свойства операций Закон двойного дополнения Ā = A Идемпотентность операций ∪ и ∩ A
20. Теория множеств. Свойства операций 5. Дистрибутивные законы A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)
21. Теория множеств. Свойства операций 9. Свойства дополнения A ∪ A = U A ∩ A =
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Введение в дискретную математику
Термин «дискретная математика» появился на рубеже 50-х и

60-х годов XX века. Когда появилась сама наука?
Дискретная математика — часть математики, изучающая дискретные математические структуры (множества, выражения, графы,…).
Дискретные величины и непрерывные величины.
Расстояние между соседними числами: дискретными (нельзя вставить число), непрерывными (можно вставить сколько угодно чисел).

Слайд 3

Введение в дискретную математику
Зачем нужна дискретная математика:
для четкой формулировки и формализации

понятий, объектов и процессов как природного мира, так и инженерно-технического;
для постановок различных прикладных задач, их формализации и компьютеризации;
для усвоения и разработки современных информационных технологий.

Слайд 4

Введение в дискретную математику
Разделы дискретной математики:
Теория множеств
Теория графов
Теория автоматов
Теория кодирования
Комбинаторика
Математическая логика
И

т.д.

Слайд 5

Теория множеств. Понятие множества
Термин «множество» - фундаментальное понятие.
Под множеством интуитивно понимают

совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое.
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
!!! Следовательно, элементы множества должны быть:
· вполне различимыми;
· иметь общее свойство.
Договоренность: множества обозначаются заглавными латинскими буквами, элементы множества – строчными.

Слайд 6

Теория множеств. Терминология
Если x есть один из объектов множества А, то

x есть элемент А, или, говорят, x принадлежит А.
Обозн. x ∈ A
Аналогично определяется «непринадлежность» элемента множеству и обозначается x ∉ A.
Множество А есть подмножество множества В (обозн. А ⊆ В), если каждый элемент А является элементом В.
То есть, если х ∈ A, то х ∈ В.
Прим. В частности, каждое множество есть подмножество самого себя.
Аналогично. А ⊄ В, если существует элемент в множестве А, не принадлежащий множеству В.

Слайд 7

Теория множеств. Примеры
Примеры множеств:
N = {1,2,3,4,…}
M = {сентябрь, октябрь, ноябрь}
P =

{Анна, Марина, Иван, Сергей, Ольга}
G = {Анна, Марина, Ольга}, G ⊆ P
B = {Иван, Андрей}, B ⊄ P
Еще примеры множеств?

Слайд 8

Теория множеств. Терминология
Пусть А и В – некоторые множества.
А равно В

(обозн. А = В), если для любого х : х ∈ A тогда и только тогда, когда х ∈ В.
Прим. А = В тогда и только тогда, когда А ⊆ В и В ⊆ А.
Если А ⊆ В и А ≠ В , то А есть собственное подмножество В
(обозн. А ⊂ В).
Пустым множеством (обозн. ∅ или {}) называется множество, которое не содержит элементов.
Универсальное множество U есть множество, обладающее свойством, что все рассматриваемые множества (в рамках задачи) являются его подмножествами.

Слайд 9

Теория множеств. Терминология
Множества могут содержать любое число элементов.
Множество, состоящее из конечного

числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным. Число элементов в конечном множестве A называется его мощностью и обозначается |А|.
Георг Кантор (родоначальником теории множеств) для бесконечных множеств ввел два типа бесконечности:
Множества, равномощные множеству натуральных чисел N , называются счетными.
Множества, равномощные множеству вещественных чисел R , называются континуальными.
Примеры:
Множество дней недели – конечно. W ={Пн,Вт, …,Вс}, |W| = 7.
Множество натуральных чисел N – бесконечно. N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,

19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,
100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125, 126,127,…

Слайд 10

Теория множеств. Терминология
Булеан (степень множества, показательное множество) – множество всех подмножеств заданного

множества A.
Обозн. 2А или P(A).
Пример. A = {1,2,3}.
Тогда 2А = {∅,{1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Замечания:
1. 2∅ = {∅}.
2. |2A| = 2|A|.

Слайд 11

Теория множеств. Способы задания
Задание перечислением.
Явно указываем список элементов множества.
Задание с помощью

описания характеристических свойств.
Указывается свойство(а), которым(и) должны обладать все элементы множества.
Пример 1. {n| (n ∈ N) и (10Пример 2. {n ∈N | n – простое число}.
Пример 3. {n ∈N | n2-3n+2=0}

Слайд 12

Теория множеств. Способы задания
3) Задание с помощью порождающей процедуры.
Процедура описывает способ

получения элементов множества из уже имеющихся элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть получены с помощью такой процедуры.
Пример. Зададим множество M целых чисел, являющихся степенями двойки.
Порождающая процедура задается 2 правилами:
1. а) 1 ∈ M ; б) если m ∈ M , то 2m ∈ M .

Слайд 13

Теория множеств. Диаграмма Эйлера-Венна
Диаграмма Эйлера-Венна – это геометрические представления множеств.
Построение

диаграмм заключается в изображении:
большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U ,
внутри прямоугольника – круги или другие замкнутые фигуры, представляющих множества.

Слайд 14

Теория множеств. Операции
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее

из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В.
Обозн. A ∩ B. A ∩ B = {х : х ∈ A и х ∈ В }.
Пересечение множеств в общем случае:
Если I = { 1, 2, 3, …, k }, то

Диаграмма
Эйлера-Венна

Слайд 15

Теория множеств. Операции
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из

всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Обозн. А ∪ В. A ∪ B = {х : х ∈ A и х ∈ В }.
Объединение множеств в общем случае:
Пусть I = { 1, 2, 3, …, k }, то

Диаграмма
Эйлера-Венна

Слайд 16

$Теория множеств. Операции Пусть А и В множества. Разностью множеств А\В$

Теория множеств. Операции
Пусть А и В множества. Разностью множеств А\В называется

множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В.
A\B = {х : х ∈ A и х ∉ В }.
Симметрическая разность множеств А и В (обозн. А-В) есть множество
(А\В) ∪ (В\А)

Диаграмма
Эйлера-Венна

Слайд 17

Теория множеств. Операции
Дополнение множества А (обозн. А‘ или Ā) - это

множество элементов универсума, которые не принадлежат А.
Ā = U - A = {х : х ∈ U и х ∉ A }.

Диаграмма
Эйлера-Венна

Слайд 18

Теория множеств. Операции
Декартово (прямое) произведение множеств А и В (обозн. А

× В) есть множество
{(a, b) : a ∈ A и b ∈ В }.
Объект (a, b) называется упорядоченной парой с первой компонентой а, второй компонентой b.
Декартовой (прямой) степенью множеств А (обозн. Аn) является множество A × A ×… × A (декартово произведение n копий множества A).
Пример.
Пусть А = {1, 2, 3}, и В = {r, s}. Тогда
A × B = {(1, r), (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)}.

Если каждое из множеств А и В представляет собой множество действительных чисел, то A × B представляет собой декартову плоскость, на которой упорядоченные пары чисел используются для графического изображения функций.

Слайд 19

Теория множеств. Свойства операций
Закон двойного дополнения Ā = A
Идемпотентность операций ∪

и ∩
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Коммутативность операций ∪ и ∩
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Ассоциативность операций ∪ и ∩
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Слайд 20

Теория множеств. Свойства операций
5. Дистрибутивные законы
A ∪ (B ∩ C) =

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6. Законы поглощения
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
7. Законы де Моргана
A ∪ B = A ∩ B
A ∩ B = A ∪ B

Слайд 21

Теория множеств. Свойства операций
9. Свойства дополнения
A ∪ A = U
A ∩

A = ∅
10. Свойства тождества
A ∪ ∅ = A
A ∩ U = A
11. Дополнительные свойства
A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅
U = ∅ и ∅ = U

Теория множеств. Понятие множества

Содержание

Введение в дискретную математикуТермин «дискретная математика» появился на рубеже 50-х и

Введение в дискретную математикуЗачем нужна дискретная математика:для четкой формулировки и формализации

Теория множеств. Понятие множестваТермин «множество» - фундаментальное понятие.Под множеством интуитивно понимают

Теория множеств. ТерминологияЕсли x есть один из объектов множества А, то

Теория множеств. ПримерыПримеры множеств:N = {1,2,3,4,…}M = {сентябрь, октябрь, ноябрь}P =

Теория множеств. ТерминологияПусть А и В – некоторые множества.А равно В

Теория множеств. ТерминологияМножества могут содержать любое число элементов.Множество, состоящее из конечного

Теория множеств. ТерминологияБулеан (степень множества, показательное множество) – множество всех подмножеств заданного

Теория множеств. Способы заданияЗадание перечислением.Явно указываем список элементов множества.Задание с помощью

Теория множеств. Способы задания3) Задание с помощью порождающей процедуры.Процедура описывает способ

Теория множеств. Диаграмма Эйлера-ВеннаДиаграмма Эйлера-Венна – это геометрические представления множеств. Построение

Теория множеств. Операции Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее

Теория множеств. ОперацииОбъединением множеств А и В называется множество, состоящее из

Теория множеств. ОперацииПусть А и В множества. Разностью множеств А\В называется

Теория множеств. ОперацииДополнение множества А (обозн. А‘ или Ā) - это

Теория множеств. ОперацииДекартово (прямое) произведение множеств А и В (обозн. А

Теория множеств. Свойства операцийЗакон двойного дополнения Ā = AИдемпотентность операций ∪

Теория множеств. Свойства операций5. Дистрибутивные законыA ∪ (B ∩ C) =

Теория множеств. Свойства операций9. Свойства дополненияA ∪ A = UA ∩

Похожие презентации

Введение в дискретную математику
Термин «дискретная математика» появился на рубеже 50-х и

Введение в дискретную математику
Зачем нужна дискретная математика:
для четкой формулировки и формализации

Теория множеств. Понятие множества
Термин «множество» - фундаментальное понятие.
Под множеством интуитивно понимают

Теория множеств. Терминология
Если x есть один из объектов множества А, то

Теория множеств. Примеры
Примеры множеств:
N = {1,2,3,4,…}
M = {сентябрь, октябрь, ноябрь}
P =

Теория множеств. Терминология
Пусть А и В – некоторые множества.
А равно В

Теория множеств. Терминология
Множества могут содержать любое число элементов.
Множество, состоящее из конечного

Теория множеств. Терминология
Булеан (степень множества, показательное множество) – множество всех подмножеств заданного

Теория множеств. Способы задания
Задание перечислением.
Явно указываем список элементов множества.
Задание с помощью

Теория множеств. Способы задания
3) Задание с помощью порождающей процедуры.
Процедура описывает способ

Теория множеств. Диаграмма Эйлера-Венна
Диаграмма Эйлера-Венна – это геометрические представления множеств.
Построение

Теория множеств. Операции
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее

Теория множеств. Операции
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из

Теория множеств. Операции
Пусть А и В множества. Разностью множеств А\В называется

Теория множеств. Операции
Дополнение множества А (обозн. А‘ или Ā) - это

Теория множеств. Операции
Декартово (прямое) произведение множеств А и В (обозн. А

Теория множеств. Свойства операций
Закон двойного дополнения Ā = A
Идемпотентность операций ∪

Теория множеств. Свойства операций
5. Дистрибутивные законы
A ∪ (B ∩ C) =

Теория множеств. Свойства операций
9. Свойства дополнения
A ∪ A = U
A ∩