Теория погрешностей

Август 9, 2022

Главная
Математика
Теория погрешностей

Содержание

2. Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата. Выделяют три вида погрешностей: 1. Неустранимая погрешность –
3. Пусть – точное значение величины, а – ее приближенное значение. Абсолютной погрешностью числа называется наименьшая величина
4. 3. Верные значащие цифры Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой
5. Пример 1. Пусть и известно, что . Определить число верных значащих цифр у числа . Имеем:
6. При записи чисел руководствуются следующим правилом: все значащие цифры должны быть верными. Поэтому округление чисел, записанных
7. Оценить погрешность вычисления значений функции по заданной погрешности аргументов. Пусть - непрерывно дифференцируемая функция, где ;
8. Погрешность суммы. Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел. Пусть ,
9. Погрешность частного. Пусть . Очевидно, что (1.6) Из формул (1.3) – (1.6) выводятся формулы для соответствующих
10. а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого значения .
11. Порядок выполняемых операций:
12. 0
13. Необходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Для функции одной переменной абсолютную погрешность можно
14. Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с верными значащими цифрами. Решение. Находим (полагаем
15. Исходим из того, что Для использования принципа равных влияний считаем, что все слагаемые , равны между
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата.
Выделяют три

вида погрешностей:
1. Неустранимая погрешность – эта погрешность связана с ошибками в исходной информации. Причинами этих ошибок могут быть, например, неточность измерений, невозможность представления некоторой величины конечной дробью.
2. Погрешность метода связана с тем, что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, производную – разностью, функцию – многочленом или строят бесконечный итерационный процесс, который обрывают после конечного числа итераций.
3. Погрешность вычислений возникает при округлении промежуточных и конечных результатов.

1. Источники и классификация погрешности

Слайд 3

Пусть – точное значение величины, а – ее приближенное значение.
Абсолютной погрешностью

числа называется наименьшая
величина , удовлетворяющая условию , т.е. точное
значение величины лежит в интервале .
Относительной погрешностью называется величина ,
удовлетворяющая условию или .
Относительную погрешность часто выражают в процентах. Для этого необходимо величину умножить на 100%.

2. Абсолютная и относительная погрешности

Слайд 4

3. Верные значащие цифры
Значащими цифрами числа называются все цифры в

его записи, начиная с первой ненулевой слева, например:
1) - все цифры значащие;
2) – значащие только ; первые три нуля незначащие, т.к. они служат вспомогательной цели – определению положения цифр , поэтому может быть принята запись
;
3) и . В первой записи все семь цифр (и последние четыре нуля) значащие, во второй – значащие только .
Верные значащие цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Слайд 5

Пример 1. Пусть и известно, что . Определить число верных

значащих цифр у числа .
Имеем: ; и .
Значит, у числа верные знаки а и – сомнительные.
Пример 2. Определить число верных значащих цифр у числа .
Пусть и .
Так как , то у числа три знака после запятой
верные.

Слайд 6

При записи чисел руководствуются следующим правилом: все значащие цифры должны

быть верными. Поэтому округление чисел, записанных в десятичной системе, производится по правилу первой отбрасываемой цифры:
если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые десятичные знаки сохраняются без изменения;
если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;
Примеры. Округлить числа:
1) 1,2537≈1,25, m=3 – количество верных значащих цифр;
2) 1,2563≈1,26, m=3; 3) 2,36566≈2,37, m=3;

Правила округления

Слайд 7

Оценить погрешность вычисления значений функции по заданной погрешности аргументов.
Пусть

- непрерывно дифференцируемая функция,
где ;
- приближенные значения аргументов, ;
- абсолютные погрешности аргументов.
Тогда абсолютная погрешность вычисления значения функции в точке
равна
(1.1)
Относительная погрешность значения в точке равна
(1.2)

4. Прямая задача теории погрешностей:

Слайд 8

Погрешность суммы. Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных чисел равна сумме

абсолютных погрешностей этих чисел.
Пусть , тогда (1.3)
Погрешность разности. Абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого .
Пусть , тогда (1.4)
Погрешность произведения. Пусть , известны и ,
, тогда абсолютная погрешность произведения вычисляется по формуле
(1.5)

Погрешность результатов арифметических операций

Слайд 9

Погрешность частного. Пусть . Очевидно, что
(1.6)
Из формул (1.3) –

(1.6) выводятся формулы для соответствующих относительных погрешностей:

Слайд 10

а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить

и оценить погрешность искомого значения .
б) Определить число верных знаков в результате.
Решение. а) приближенные значения исходных данных: 0,
, .
Абсолютные погрешности исходных данных: ,
.
Относительные погрешности исходных данных:

Пример (прямая задача)

Слайд 11

Порядок выполняемых операций:

Слайд 12

0

Слайд 13

Необходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
Для функции

одной переменной абсолютную погрешность можно приближенно вычислить по формуле
Для функции нескольких переменных :
если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т.е.
считают, что все слагаемые , равны между собой.
Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой

5. Обратная задача теории погрешностей

Слайд 14

Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с

верными значащими цифрами.
Решение. Находим
(полагаем первые цифр верными).
Согласно определению -верного знака, абсолютная погрешность

Пример (обратная задача)

Слайд 15

Исходим из того, что
Для использования принципа равных влияний считаем, что

все
слагаемые , равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой:
Находим

Теория погрешностей

Содержание

Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата. Выделяют три

Пусть – точное значение величины, а – ее приближенное значение.Абсолютной погрешностью

3. Верные значащие цифры Значащими цифрами числа называются все цифры в