Уравнения математической физики. Теория потенциала 2. (Лекция 5)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Уравнения математической физики. Теория потенциала 2. (Лекция 5)

Содержание

2. Теория потенциала Потенциал простого слоя
3. Теория потенциала Асимптотика на бесконечности
4. Теория потенциала
5. Теория потенциала Прямое значение нормальной производной
6. Теория потенциала Теорема Гаусса о поверхностной дивергенции
7. Теория потенциала Потенциал двойного слоя
8. Теория потенциала Асимптотика на бесконечности
9. Теория потенциала
10. Теория потенциала
11. Теория потенциала Интеграл Гаусса
12. Теория потенциала E(x,y) - гладкая гармоническая функция в области Ω, по следствию из формулы Грина Воспользуемся
13. Теория потенциала Решение краевых задач с помощью потенциалов
14. Теория потенциала Внутренняя задача Дирихле: Внешняя задача Дирихле:
15. Теория потенциала
16. Теория потенциала Внутренняя задача Неймана: Внешняя задача Неймана:
17. Теория потенциала Теория Фредгольма Ортогональность:
18. Теория потенциала Интегральные уравнения теории потенциала
19. Теория потенциала Лемма о решении уравнения (N+)
20. Теория потенциала Исследование первой пары интегральных уравнений (n=3)
21. Теория потенциала
22. Теория потенциала Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=3 имеет решение для любой непрерывной граничной функции,
23. Теория потенциала Исследование первой пары интегральных уравнений (n=2)
24. Теория потенциала
25. Теория потенциала Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=2 имеет решение для любой непрерывной граничной функции,
26. Теория потенциала Дополнительный анализ интегрального уравнения N+ (n=2)
27. Теория потенциала Следствие 2. Внешняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x) при n=2 имеет решение
28. Теория потенциала Исследование второй пары интегральных уравнений
29. Теория потенциала Лемма. Пусть и тогда внутри S
30. Теория потенциала Лемма. Если потенциал простого слоя равен нулю внутри S, то его плотность равна нулю.
31. Теория потенциала
32. Лемма. Теория потенциала Одномерность собственных подпространств (n=2)
33. Теория потенциала
34. Теория потенциала
35. Теория потенциала Пространство решений однородного уравнения внешней задачи Дирихле состоит из констант. Пространство решений однородного уравнения
36. Теория потенциала Потенциал Робена Выбираем решение, для которого эта константа равна 1 (плотность Робена и потенциал
37. Теория потенциала Физический смысл потенциала Робена (n=3) S – идеальный проводник Q – заряд на S
38. Теория потенциала Условие разрешимости: Следствие. Внутренняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x) имеет решение тогда
39. Теория потенциала Условие разрешимости: Следствие. Если для непрерывной граничной функции φ(x) выполнено условие (R), то решение
40. Теория потенциала Пример. Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно, условие (R) не
41. Теория потенциала Пример. Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно, условие (R) не
42. Теория потенциала Разрешимость внешней задачи Дирихле для произвольной непрерывной граничной функции
43. Теория потенциала Условие разрешимости:
44. Теория потенциала Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n≥3 существует для любой непрерывной граничной функции, единственно
45. Теория потенциала Условие разрешимости: Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n=2 существует для любой непрерывной граничной
47. Скачать презентацию

Слайд 2

Теория потенциала
Потенциал простого слоя

Слайд 3

Теория потенциала
Асимптотика на бесконечности

Слайд 4

Теория потенциала

Слайд 5

Теория потенциала
Прямое значение нормальной производной

Слайд 6

Теория потенциала
Теорема Гаусса о поверхностной дивергенции

Слайд 7

Теория потенциала
Потенциал двойного слоя

Слайд 8

Теория потенциала
Асимптотика на бесконечности

Слайд 9

Теория потенциала

Слайд 10

Теория потенциала

Слайд 11

Теория потенциала
Интеграл Гаусса

Слайд 12

Теория потенциала
E(x,y) - гладкая гармоническая функция в области Ω, по следствию

из формулы Грина

Воспользуемся интегральным представлением гладкой гармонической функции u(x)=–1

Слайд 13

Теория потенциала
Решение краевых задач с помощью потенциалов

Слайд 14

Теория потенциала
Внутренняя задача Дирихле:
Внешняя задача Дирихле:

Слайд 15

Теория потенциала

Слайд 16

Теория потенциала
Внутренняя задача Неймана:
Внешняя задача Неймана:

Слайд 17

Теория потенциала
Теория Фредгольма
Ортогональность:

Слайд 18

Теория потенциала
Интегральные уравнения теории потенциала

Слайд 19

Теория потенциала
Лемма о решении уравнения (N+)

Слайд 20

Теория потенциала
Исследование первой пары интегральных уравнений (n=3)

Слайд 21

Теория потенциала

Слайд 22

Теория потенциала
Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=3 имеет решение для

любой непрерывной граничной функции, это решение единственно и представимо потенциалом двойного слоя.
Следствие 2. Внешняя задача Неймана при n=3 имеет решение для любой непрерывной граничной функции, это решение единственно и представимо потенциалом простого слоя.

Слайд 23

Теория потенциала
Исследование первой пары интегральных уравнений (n=2)

Слайд 24

Теория потенциала

Слайд 25

Теория потенциала
Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=2 имеет решение для

любой непрерывной граничной функции, это решение единственно и представимо потенциалом двойного слоя.

Слайд 26

Теория потенциала
Дополнительный анализ интегрального уравнения N+ (n=2)

Слайд 27

Теория потенциала
Следствие 2. Внешняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x)

при n=2 имеет решение тогда и только тогда, когда эта граничная функция удовлетворяет условию
Решение задачи определено с точностью до постоянного слагаемого и одно из решений (убывающее к нулю на бесконечности) представимо потенциалом простого слоя.

Слайд 28

Теория потенциала
Исследование второй пары интегральных уравнений

Слайд 29

Теория потенциала
Лемма. Пусть
и
тогда внутри S

Слайд 30

Теория потенциала
Лемма. Если потенциал простого слоя равен нулю внутри S, то

его плотность равна нулю.

Одномерность собственных подпространств (n≥3)

Слайд 31

Теория потенциала

Слайд 32

Лемма.
Теория потенциала
Одномерность собственных подпространств (n=2)

Слайд 33

Теория потенциала

Слайд 34

Теория потенциала

Слайд 35

Теория потенциала
Пространство решений однородного уравнения внешней задачи Дирихле состоит из констант.
Пространство

решений однородного уравнения внутренней задачи Неймана одномерно (все решения пропорциональны любому одному из ненулевых решений этого уравнения).

Слайд 36

Теория потенциала
Потенциал Робена
Выбираем решение, для которого эта константа равна 1 (плотность

Робена и потенциал Робена):

Слайд 37

Теория потенциала
Физический смысл потенциала Робена (n=3)
S – идеальный проводник
Q – заряд

на S

Слайд 38

Теория потенциала
Условие разрешимости:
Следствие. Внутренняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x)

имеет решение тогда и только тогда, когда эта граничная функция удовлетворяет условию (R).
Решение задачи определено с точностью до постоянного слагаемого и одно из решений представимо потенциалом простого слоя.

Слайд 39

Теория потенциала
Условие разрешимости:
Следствие. Если для непрерывной граничной функции φ(x) выполнено условие

(R), то решение внешней задачи Дирихле существует, единственно и представимо потенциалом двойного слоя.

Слайд 40

Теория потенциала
Пример.
Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно,

условие (R) не выполнено.

Слайд 41

Теория потенциала
Пример.
Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно,

условие (R) не выполнено.

Слайд 42

Теория потенциала
Разрешимость внешней задачи Дирихле для произвольной непрерывной граничной функции

Слайд 43

Теория потенциала
Условие разрешимости:

Слайд 44

Теория потенциала
Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n≥3 существует для любой

непрерывной граничной функции, единственно и представимо в виде суммы потенциала точечного заряда и потенциала двойного слоя.

Слайд 45

Теория потенциала
Условие разрешимости:
Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n=2 существует для

любой непрерывной граничной функции, единственно и представимо в виде суммы константы и потенциала двойного слоя.

Уравнения математической физики. Теория потенциала 2. (Лекция 5)

Содержание

Теория потенциалаПотенциал простого слоя

Теория потенциалаАсимптотика на бесконечности

Теория потенциала

Теория потенциалаПрямое значение нормальной производной

Теория потенциалаТеорема Гаусса о поверхностной дивергенции

Теория потенциалаПотенциал двойного слоя

Теория потенциалаАсимптотика на бесконечности

Теория потенциала

Теория потенциала

Теория потенциалаИнтеграл Гаусса

Теория потенциалаE(x,y) - гладкая гармоническая функция в области Ω, по следствию

Теория потенциалаРешение краевых задач с помощью потенциалов

Теория потенциалаВнутренняя задача Дирихле:Внешняя задача Дирихле:

Теория потенциала

Теория потенциалаВнутренняя задача Неймана:Внешняя задача Неймана:

Теория потенциалаТеория ФредгольмаОртогональность:

Теория потенциалаИнтегральные уравнения теории потенциала

Теория потенциалаЛемма о решении уравнения (N+)

Теория потенциалаИсследование первой пары интегральных уравнений (n=3)

Теория потенциала

Теория потенциалаСледствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=3 имеет решение для

Теория потенциалаИсследование первой пары интегральных уравнений (n=2)

Теория потенциала

Теория потенциалаСледствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=2 имеет решение для

Теория потенциалаДополнительный анализ интегрального уравнения N+ (n=2)

Теория потенциалаСледствие 2. Внешняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x)

Теория потенциалаИсследование второй пары интегральных уравнений

Теория потенциалаЛемма. Пустьитогда внутри S

Теория потенциалаЛемма. Если потенциал простого слоя равен нулю внутри S, то

Теория потенциала

Лемма.Теория потенциалаОдномерность собственных подпространств (n=2)

Теория потенциала

Теория потенциала

Теория потенциалаПространство решений однородного уравнения внешней задачи Дирихле состоит из констант.Пространство

Теория потенциалаПотенциал РобенаВыбираем решение, для которого эта константа равна 1 (плотность

Теория потенциалаФизический смысл потенциала Робена (n=3)S – идеальный проводникQ – заряд

Теория потенциалаУсловие разрешимости:Следствие. Внутренняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x)

Теория потенциалаУсловие разрешимости:Следствие. Если для непрерывной граничной функции φ(x) выполнено условие

Теория потенциалаПример.Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно,

Теория потенциалаПример.Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно,

Теория потенциалаРазрешимость внешней задачи Дирихле для произвольной непрерывной граничной функции

Теория потенциалаУсловие разрешимости:

Теория потенциалаСледствие. Решение внешней задачи Дирихле при n≥3 существует для любой

Теория потенциалаУсловие разрешимости:Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n=2 существует для

Похожие презентации

Теория потенциала
Потенциал простого слоя

Теория потенциала
Асимптотика на бесконечности

Теория потенциала
Прямое значение нормальной производной

Теория потенциала
Теорема Гаусса о поверхностной дивергенции

Теория потенциала
Потенциал двойного слоя

Теория потенциала
Асимптотика на бесконечности

Теория потенциала
Интеграл Гаусса

Теория потенциала
E(x,y) - гладкая гармоническая функция в области Ω, по следствию

Теория потенциала
Решение краевых задач с помощью потенциалов

Теория потенциала
Внутренняя задача Дирихле:
Внешняя задача Дирихле:

Теория потенциала
Внутренняя задача Неймана:
Внешняя задача Неймана:

Теория потенциала
Теория Фредгольма
Ортогональность:

Теория потенциала
Интегральные уравнения теории потенциала

Теория потенциала
Лемма о решении уравнения (N+)

Теория потенциала
Исследование первой пары интегральных уравнений (n=3)

Теория потенциала
Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=3 имеет решение для

Теория потенциала
Исследование первой пары интегральных уравнений (n=2)

Теория потенциала
Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=2 имеет решение для

Теория потенциала
Дополнительный анализ интегрального уравнения N+ (n=2)

Теория потенциала
Следствие 2. Внешняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x)

Теория потенциала
Исследование второй пары интегральных уравнений

Теория потенциала
Лемма. Пусть
и
тогда внутри S

Теория потенциала
Лемма. Если потенциал простого слоя равен нулю внутри S, то

Лемма.
Теория потенциала
Одномерность собственных подпространств (n=2)

Теория потенциала
Пространство решений однородного уравнения внешней задачи Дирихле состоит из констант.
Пространство

Теория потенциала
Потенциал Робена
Выбираем решение, для которого эта константа равна 1 (плотность

Теория потенциала
Физический смысл потенциала Робена (n=3)
S – идеальный проводник
Q – заряд

Теория потенциала
Условие разрешимости:
Следствие. Внутренняя задача Неймана для непрерывной граничной функции φ(x)

Теория потенциала
Условие разрешимости:
Следствие. Если для непрерывной граничной функции φ(x) выполнено условие

Теория потенциала
Пример.
Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно,

Теория потенциала
Пример.
Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом двойного слоя, следовательно,

Теория потенциала
Разрешимость внешней задачи Дирихле для произвольной непрерывной граничной функции

Теория потенциала
Условие разрешимости:

Теория потенциала
Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n≥3 существует для любой

Теория потенциала
Условие разрешимости:
Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n=2 существует для