Визначники матриць (продовження). Системи лінійних рівнянь

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Визначники матриць (продовження). Системи лінійних рівнянь

Содержание

2. Властивість 1. Значення визначника не змінюється при транспонуванні. Приклад 1. Наслідок. У визначнику рядки та стовпці
3. Властивість 3. Визначник, стовпець якого складається з нулів, дорівнює нулеві. Приклад 3 Властивість 4. Визначник, що
4. Властивість 5. Визначник, що має два пропорційні стовпці, дорівнює нулю. Приклад 5 Властивість 6. Визначник зросте
5. Властивість 7. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів якогось стовпця додати (відняти) відповідні елементи іншого
6. Властивість 8. Якщо у визначнику елементи i-го рядка є сумою двох доданків, то він дорівнює сумі
7. Для обчислення визначників порядку використовують алгебраїчні доповнення Правило обчислення визначника n- го порядку. Мінори та алгебраїчні
8. Правило обчислення визначника n- го порядку. Приклад 9 Знайти алгебраїчні доповнення елементів a21 та a33 визначника
9. Приклад 10 Правило обчислення визначника n- го порядку. Записати алгебраічне доповненя елемента a23 визначника Розв’язок А23
10. Правило. Розклад визначника за елементами рядка (стовпця). (теорема Лапласа (23.03.1747-5.03.1827)). Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків
11. Обчислення визначника порядку n≥3 . Приклад 11
12. Обернена матриця. Матрицю А-1 називають оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності А× А-1 = А-1×А
13. Обернена матриця. Знайти матрицю, обернену до матриці Приклад 12 1) Обчислюємо значення визначника матриці А Розв’язок
14. 3) Записуємо обернену до А матрицю Приклад 12 (продовження)
15. Системи лінійних рівнянь Систему алгебраїчних рівнянь називають лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді де
16. Системи лінійних рівнянь Розв’язком системи називають множину дійсних чисел с1, с2, …, сn, підстановка яких у
17. Системи лінійних рівнянь Знаходження єдиного розв’язку Системи n лінійних рівнянь з n невідомими . С. Л.
18. Системи n лінійних рівнянь з n невідомими Метод Крамера. Цей визначник отримано шляхом послідовної заміни j-го
19. Приклад 13 Розв’язати систему лінійних рівнянь за формулами Крамера: Розв’язок ∆ ≠ 0, можемо застосувати правило
20. Приклад 13 (продовження) За формулами Крамера: Відповідь:
21. Системи n лінійних рівнянь з n невідомими Метод оберненої матриці. то С.Л. Р. , згідно з
22. Приклад 14 Розв’язати C.Л.Р. методом оберненої матриці Запишемо систему рівнянь у вигляді матричного рівняння Розв’язок де
23. Приклад 14 (продовження) Знаходимо алгебраїчні доповнення:
24. Приклад 14 (продовження) Запишемо обернену матрицю до матриці А
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Властивість 1.
Значення визначника не змінюється при транспонуванні.
Приклад 1.
Наслідок. У визначнику рядки

та стовпці мають однакові властивості.

Властивість 2.
Визначник змінить знак на протилежний, якщо поміняти місцями будь-які два рядки.

Приклад 2.

Властивості визначників

Слайд 3

Властивість 3.
Визначник, стовпець якого складається з нулів, дорівнює нулеві.
Приклад

Властивість 4.
Визначник, що має два однакових стовпця, дорівнює нулеві.

Приклад 4

Властивості визначників

Слайд 4

Властивість 5.
Визначник, що має два пропорційні стовпці, дорівнює нулю.
Приклад 5
Властивість

6.
Визначник зросте у k раз, якщо усі елементи одного стовпця (рядка) помножити на однакове число k.

Приклад 6

Властивості визначників

Наслідок. Спільний множник елементів одного стовпця можна винести за знак визначника.

Слайд 5

Властивість 7.
Значення визначника не зміниться, якщо до елементів якогось

стовпця додати (відняти) відповідні елементи іншого стовпця, що помножені на одне і те ж число.

Приклад 7

1 рядок ×(-4) +2 рядок; 1 рядок ×(-7) +3 рядок

Властивості визначників

Слайд 6

Властивість 8.
Якщо у визначнику елементи i-го рядка є сумою двох доданків,

то він дорівнює сумі двох відповідних визначників.

Властивості визначників

Приклад 8

Слайд 7

Для обчислення визначників порядку використовують алгебраїчні доповнення
Правило обчислення визначника n- го

порядку.

Мінори та алгебраїчні доповнення елементів визначника

Мінором елемента називається визначник (n-1)-го порядку, утворений з визначника n- го порядку, викресленням i-го рядка та j- го стовпця.

Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається мінор цього елемента взятий з відповідним знаком.

Слайд 8

Правило обчислення визначника n- го порядку.
Приклад 9
Знайти алгебраїчні доповнення елементів a21

та a33 визначника

Розв’язок

Слайд 9

Приклад 10
Правило обчислення визначника n- го порядку.
Записати алгебраічне доповненя елемента

a23 визначника

Розв’язок

А23 = 313

Слайд 10

Правило. Розклад визначника за елементами рядка (стовпця).
(теорема Лапласа (23.03.1747-5.03.1827)).
Визначник n-го

порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого стовпця (або рядка ) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

У випадку використання i-го рядка правило має вигляд

Слайд 11

Обчислення визначника порядку n≥3 .
Приклад 11

Слайд 12

Обернена матриця.
Матрицю А-1 називають оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності

А× А-1 = А-1×А =Е.

Умови існування А-1 до А:

1) А - квадратна;
2) ∆ А≠ 0.

Обернена матриця має вигляд

де Аij = (-1)i+j Mij – алгебраїчні доповнення елемента aij.

Слайд 13

Обернена матриця.
Знайти матрицю, обернену до матриці
Приклад 12
1) Обчислюємо значення визначника

матриці А

Розв’язок

2) Знаходимо алгебраїчні доповнення усіх елементів

Слайд 14

3) Записуємо обернену до А матрицю
Приклад 12 (продовження)

Слайд 15

Системи лінійних рівнянь
Систему алгебраїчних рівнянь називають лінійною, якщо вона може бути

записана у вигляді

де x1, x2, … , xn, - невідомі; aij - коефіцієнти системи; bk - вільні члени.

Слайд 16

Системи лінійних рівнянь
Розв’язком системи називають множину дійсних чисел с1, с2, …,

сn, підстановка яких у систему замість невідомих, перетворює кожне рівняння у тотожність.
Систему лінійних рівнянь (С. Л. Р.) називають сумісною якщо вона має хоч би один розв’язок, несумісною в протилежному випадку.

системи лінійних рівнянь

Слайд 17

Системи лінійних рівнянь
Знаходження єдиного розв’язку
Системи n лінійних рівнянь з n

невідомими .

С. Л. Р. має єдиний розв’язок, якщо визначник матриці з коефіцієнтів цієї системи не дорівнює нулю

Слайд 18

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими
Метод Крамера.
Цей визначник отримано

шляхом послідовної заміни j-го стовпця визначника ∆ стовпцем чисел b1 , b2 , … , bn .

Розв’язком С.Л.Р. за правилом Крамера буде сукупність значень невідомих обчислених за формулами:

де

Слайд 19

Приклад 13
Розв’язати систему лінійних рівнянь за формулами Крамера:
Розв’язок
∆ ≠

0, можемо застосувати правило Крамера

Слайд 20

Приклад 13 (продовження)
За формулами Крамера:
Відповідь:

Слайд 21

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими
Метод оберненої матриці.
то С.Л.

Р. , згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць, можна записати у матричній формі

A×X = B

Тоді

A-1∙A×X = A-1∙ B ( A-1∙A =E)

X= A-1∙ B

де A-1 - матриця обернена до A.

Слайд 22

Приклад 14
Розв’язати C.Л.Р. методом оберненої матриці
Запишемо систему рівнянь

у вигляді матричного рівняння

Розв’язок

де

Тоді

Слайд 23

Приклад 14 (продовження)
Знаходимо алгебраїчні доповнення:

Слайд 24

Визначники матриць (продовження). Системи лінійних рівнянь

Содержание

Властивість 1.Значення визначника не змінюється при транспонуванні.Приклад 1.Наслідок. У визначнику рядки

Властивість 3. Визначник, стовпець якого складається з нулів, дорівнює нулеві. Приклад

Властивість 5. Визначник, що має два пропорційні стовпці, дорівнює нулю.Приклад 5Властивість

Властивість 7. Значення визначника не зміниться, якщо до елементів якогось

Властивість 8.Якщо у визначнику елементи i-го рядка є сумою двох доданків,

Для обчислення визначників порядку використовують алгебраїчні доповненняПравило обчислення визначника n- го

Правило обчислення визначника n- го порядку.Приклад 9Знайти алгебраїчні доповнення елементів a21

Приклад 10 Правило обчислення визначника n- го порядку.Записати алгебраічне доповненя елемента

Правило. Розклад визначника за елементами рядка (стовпця). (теорема Лапласа (23.03.1747-5.03.1827)).Визначник n-го

Обчислення визначника порядку n≥3 .Приклад 11

Обернена матриця.Матрицю А-1 називають оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності

Обернена матриця.Знайти матрицю, обернену до матриціПриклад 12 1) Обчислюємо значення визначника

3) Записуємо обернену до А матрицюПриклад 12 (продовження)

Системи лінійних рівняньСистему алгебраїчних рівнянь називають лінійною, якщо вона може бути

Системи лінійних рівняньРозв’язком системи називають множину дійсних чисел с1, с2, …,

Системи лінійних рівняньЗнаходження єдиного розв’язку Системи n лінійних рівнянь з n

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими Метод Крамера.Цей визначник отримано

Приклад 13Розв’язати систему лінійних рівнянь за формулами Крамера:Розв’язок ∆ ≠

Приклад 13 (продовження) За формулами Крамера: Відповідь:

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими Метод оберненої матриці.то С.Л.

Приклад 14 Розв’язати C.Л.Р. методом оберненої матриці Запишемо систему рівнянь

Приклад 14 (продовження) Знаходимо алгебраїчні доповнення:

Приклад 14 (продовження) Запишемо обернену матрицю до матриці А

Похожие презентации

Властивість 1.
Значення визначника не змінюється при транспонуванні.
Приклад 1.
Наслідок. У визначнику рядки

Властивість 3.
Визначник, стовпець якого складається з нулів, дорівнює нулеві.
Приклад

Властивість 5.
Визначник, що має два пропорційні стовпці, дорівнює нулю.
Приклад 5
Властивість

Властивість 7.
Значення визначника не зміниться, якщо до елементів якогось

Властивість 8.
Якщо у визначнику елементи i-го рядка є сумою двох доданків,

Для обчислення визначників порядку використовують алгебраїчні доповнення
Правило обчислення визначника n- го

Правило обчислення визначника n- го порядку.
Приклад 9
Знайти алгебраїчні доповнення елементів a21

Приклад 10
Правило обчислення визначника n- го порядку.
Записати алгебраічне доповненя елемента

Правило. Розклад визначника за елементами рядка (стовпця).
(теорема Лапласа (23.03.1747-5.03.1827)).
Визначник n-го

Обчислення визначника порядку n≥3 .
Приклад 11

Обернена матриця.
Матрицю А-1 називають оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності

Обернена матриця.
Знайти матрицю, обернену до матриці
Приклад 12
1) Обчислюємо значення визначника

3) Записуємо обернену до А матрицю
Приклад 12 (продовження)

Системи лінійних рівнянь
Систему алгебраїчних рівнянь називають лінійною, якщо вона може бути

Системи лінійних рівнянь
Розв’язком системи називають множину дійсних чисел с1, с2, …,

Системи лінійних рівнянь
Знаходження єдиного розв’язку
Системи n лінійних рівнянь з n

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими
Метод Крамера.
Цей визначник отримано

Приклад 13
Розв’язати систему лінійних рівнянь за формулами Крамера:
Розв’язок
∆ ≠

Приклад 13 (продовження)
За формулами Крамера:
Відповідь:

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими
Метод оберненої матриці.
то С.Л.

Приклад 14
Розв’язати C.Л.Р. методом оберненої матриці
Запишемо систему рівнянь

Приклад 14 (продовження)
Знаходимо алгебраїчні доповнення:

Приклад 14 (продовження)
Запишемо обернену матрицю до матриці А