Вневписанная окружность

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Вневписанная окружность

Содержание

2. Цель Научиться решать геометрические задачи, которые приводят к появлению вневписанной окружности, и составить алгоритм их решения.
3. Задачи 1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника и рассмотреть ее свойство. 2.Проанализировать какие задачи в ОГЭ
4. Понятие вневписанной окружности Определение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений
5. Понятие вневписанной окружности Пусть на плоскости заданы три прямые, которые попарно пересекаются в точках A, B
6. Многие дают немедленный ответ: конечно одна, а именно, центр окружности, вписанной в треугольник ABC(рис.1), но этот
7. Аналогично, рассматривая другие пары внешних углов треугольника ABC, получим еще две точки, обладающие требуемым свойством. Таким
8. Свойство вневписанной окружности Свойство: Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника,
9. Свойство вневписанной окружности Доказательство: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален
10. Вневписанная окружность в задачах По итогам ОГЭ прошлого года многие девятиклассники даже не приступали к решению
11. Задача 1. Алгоритм решения 1. Обозначить О – центр вневписанной окружности, Q – центр окружности, вписанной
12. Задача 2. Алгоритм решения 1. Обозначить Q – центр вневписанной окружности, О – центр окружности, вписанной
13. Задача 2. Алгоритм решения 5. Рассмотреть подобные прямоугольные треугольники ANO и АМQ и найти коэффициент подобия
14. Задача 2. Алгоритм решения 8. Рассмотреть прямоугольный треугольник SВК, в котором по теореме Пифагора r2 =
15. Задача 3. Алгоритм решения 1. Обозначить М – центр вневписанной окружности, О – центр вписанной окружности
16. ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник. (Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7]) «Основание АС равнобедренного треугольника
17. ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник. (Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7]) ∆AQO – прямоугольный треугольник,
18. ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника. (Решу ОГЭ[9]) «Две касающиеся внешним образом
19. ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника. (Решу ОГЭ[9]) Решение: Пусть Q –
20. ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника. (Решу ОГЭ[9]) Отрезки МС, СК и
21. ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми. (Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по математике от А до
22. ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми. (Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по математике от А до
23. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате проделанной работы я выяснила, что собой представляют вневписанные окружности треугольника, каким свойством они
25. Скачать презентацию

Слайд 2

Цель
Научиться решать геометрические задачи, которые приводят к появлению вневписанной окружности, и

составить алгоритм их решения.

Слайд 3

Задачи
1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника и рассмотреть ее свойство.
2.Проанализировать какие

задачи в ОГЭ приводят к появлению вневписанной окружности треугольника, и рассмотреть их решение.
3.Составить алгоритм решения задач, которые приводят к появлению вневписанной окружности.

Слайд 4

Понятие вневписанной окружности
Определение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из

его сторон и продолжений двух других.

Слайд 5

Понятие вневписанной окружности
Пусть на плоскости заданы три прямые, которые попарно пересекаются

в точках A, B и C (рис.1). Вопрос: сколько существует точек, равноудаленных от этих прямых?

Слайд 6

Многие дают немедленный ответ: конечно одна, а именно, центр окружности, вписанной

в треугольник ABC(рис.1), но этот ответ неверен. Действительно, рассмотрим, например, биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC (рис.3). Так как сумма углов, образованных ими со стороной BC, меньше, чем 180°, то эти биссектрисы пересекутся в некоторой точке ОА. Тогда точка ОА равноудалена от прямых AB, AC и BC.

Слайд 7

Аналогично, рассматривая другие пары внешних углов треугольника ABC, получим еще две

точки, обладающие требуемым свойством. Таким образом, помимо центра окружности О, вписанной в треугольник АВС, существуют, по крайней мере, еще три точки ОA, ОB, ОC равноудаленные от заданных прямых. Каждая из этих точек является центром окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Определение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других[2,11].

Слайд 8

Свойство вневписанной окружности
Свойство: Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения

биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника.

Слайд 9

Свойство вневписанной окружности
Доказательство: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то

центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит, её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

Слайд 10

Вневписанная окружность в задачах
По итогам ОГЭ прошлого года многие девятиклассники даже

не приступали к решению задач №26[8].
Проанализировав эти задания[4,6-10,12], я заметила, что в №26 встречаются три вида задач про вневписанную окружность и что условия следующих задач не содержат термина «вневписанная окружность». Она появляется в решении как вспомогательная фигура.

Слайд 11

Задача 1. Алгоритм решения
1. Обозначить О – центр вневписанной окружности, Q

– центр окружности, вписанной в треугольник АВС, М – точку касания окружностей.
2. Вычислить АМ=СМ= СА:2 = а:2.
3. Рассмотреть лучи AQ и АО как биссектрисы смежных углов и сделать вывод что угол ОAQ прямой.
4. Рассмотреть прямоугольный треугольник AQО и используя свойство пропорциональных отрезков записать: АМ2= QМ·МO.
5. Вычислить QМ= AМ2МO= (а:2)2?
6. Записать ответ.

Слайд 12

Задача 2. Алгоритм решения
1. Обозначить Q – центр вневписанной окружности, О

– центр окружности, вписанной в треугольник АВС, QМ и ОN- радиусы, проведенные в точки касания окружностей с прямой АС, S- центр окружности описанной около треугольника АВС, r – радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
2. Рассмотреть лучи ВО и ВQ как биссектрисы смежных углов и сделать вывод что угол ОAQ прямой.
3. Рассмотреть прямоугольный треугольник ВОQ и используя свойство пропорциональных отрезков вычислить ВК по формуле ВК =√ОК ·?? = √а·b.
4. Обозначить АN через х.

Слайд 13

Задача 2. Алгоритм решения
5. Рассмотреть подобные прямоугольные треугольники ANO и АМQ

и найти коэффициент подобия как отношение радиуса вневписанной окружности к вписанной: k=b/a. Обозначить через полученное значение k: АМ = k х, MN = k х - х=(k-1)х.
6. Рассмотреть равные отрезки МС, СК и СN, как касательные, проведенных из одной точки, и вычислить СN=СК=СМ=√а·?, МN=2СК=2√а·?, затем AN=x=2√а·b :((k-1)х), АB = АС= АN + NС=2√а·b :((k-1)х)+√а·b.
7. Рассмотреть прямоугольный треугольник АВК и найти АК: АК=√AВ²−ВК².

Слайд 14

Задача 2. Алгоритм решения
8. Рассмотреть прямоугольный треугольник SВК, в котором по

теореме Пифагора r2 = (АК - r)2 +ВК2 , выразить и вычислить ?= AВ² 2АК.
9. Записать ответ.

Слайд 15

Задача 3. Алгоритм решения
1. Обозначить М – центр вневписанной окружности, О

– центр вписанной окружности и вычислить ОМ= а + ?.
2. Провести перпендикуляр ОР из центра вписанной окружности на радиус МС вневписанной окружности. Вычислить МР = МС - РС =МС – ОА= ?- а.
3. Рассмотреть прямоугольный треугольник ОРМ и найти ОР =√ОМ²−МР².
4. Опустить перпендикуляр BQ из точки В на прямую СD. Рассмотреть прямоугольные треугольники: BQD и ОРМ (подобны по двум углам), записать BQ/BD=OP/ОМ. Откуда вычислить ВQ= OP ·BDОМ.
5. Записать ответ.

Слайд 16

ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник.
(Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7])
«Основание

АС равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС».
Решение:
Сделаем чертеж к данной задачи. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то – это вневписанная окружность.
Пусть О – центр вневписанной окружности, Q – центр окружности, вписанной в треугольник АВС.
Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AQ -биссектриса угла ВАС, а AO – биссектриса смежного с ним угла.

Слайд 17

ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник.
(Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7])
∆AQO

– прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.
АМ – высота, проведенная к гипотенузе, АМ = ½ АС = 6.
AМ²= QМ·МO. Следовательно, QМ= AМ² МO=6² 8=36 8=4,5
QМ – радиус вписанной в ∆АВС окружности, следовательно r = 4,5.
Ответ: 4,5.

Слайд 18

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.
(Решу ОГЭ[9])
«Две касающиеся

внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 36 и 45, вписаны в угол с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.»

Слайд 19

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.
(Решу ОГЭ[9])
Решение:
Пусть Q

– центр вневписанной окружности, О – центр вписанной окружности в треугольник ABC, QМ и ОN- радиусы, проведенные в точки касания окружностей с прямой АС, S- центр окружности описанной около треугольника АВС, r – радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
ВО -биссектриса угла АВК, а ВQ – биссектриса смежного с ним угла. Значит ∆OBQ – прямоугольный. Следовательно, находим ВК =√ОК ·??=√36·45=18 √5.
Пусть АN = х. Прямоугольные треугольники ANO и АМQ подобны с коэффициентом 45/36 = 1,25, значит, АМ = 1,25х, MN = 0,25х.

Слайд 20

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.
(Решу ОГЭ[9])
Отрезки МС,

СК и СN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, значит, ВК = СК =18√5, 0,25х = МN=2СК= 36√5, откуда AN=x=144√5, АС =АB =1,125х= 162√5.
В прямоугольном треугольнике АВК находим катет АК:
АК =√AВ²−ВК² =360.
В прямоугольном треугольнике SВК по теореме Пифагора имеем r2 = (АК - r)2 +ВК2,
?= AВ² 2АК=1622·5 2·360=182,25
Ответ: 182,25.

Слайд 21

ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми.
(Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по

математике от А до Я. Модульный курс» [12])
«Окружности радиусов 60 и 90 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.»

Слайд 22

ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми.
(Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по

математике от А до Я. Модульный курс» [12])
Решение:
Линия центров вписанной и вневписанной окружностей проходит через точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т.е. ОМ=150. Опустим перпендикуляр ОР из центра меньшей окружности на радиус МС второй окружности. Тогда МР = МС-РС =МС – ОА=90-60=30
Из прямоугольного треугольника ОРМ находим, что ОР =√ОМ²−РМ² = 60√6
Опустим перпендикуляр BQ из точки В на прямую СD. Прямоугольный треугольник BQD подобен прямоугольному треугольнику ОРМ по двум углам, поэтому BQBD=OPОМ. Следовательно, ВQ= OP ·BDОМ=60√6·60√6150=144.
Ответ: 144.

Слайд 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проделанной работы я выяснила, что собой представляют вневписанные окружности

треугольника, каким свойством они обладают[2-4]. Оказалось, что вневписанные окружности треугольника используются в школьной программе мало, но зато их можно встретить на олимпиадах, ОГЭ[2-12].
Проанализировав задания[4,6-10,12], которые приводят к появлению вневписанной окружности, я заметила, что встречаются три вида задач про вневписанную окружность и что условия следующих задач не содержат термина «вневписанная окружность». Она появляется в решении как вспомогательная фигура. Также во всех задачах совпадают обозначения, отличаются только числовые значения. Используем эти обозначения при составлении алгоритма решения задач, которые приводят к появлению вневписанной окружности. Данные алгоритмы помогут другим учащимся полноценно подготовиться к ОГЭ по данной теме. Используя которые учащимся будет очень легко решить задачи, подставив свои значения.

Вневписанная окружность

Содержание

ЦельНаучиться решать геометрические задачи, которые приводят к появлению вневписанной окружности, и

Задачи1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника и рассмотреть ее свойство.2.Проанализировать какие

Понятие вневписанной окружностиОпределение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из

Понятие вневписанной окружностиПусть на плоскости заданы три прямые, которые попарно пересекаются

Многие дают немедленный ответ: конечно одна, а именно, центр окружности, вписанной

Аналогично, рассматривая другие пары внешних углов треугольника ABC, получим еще две

Свойство вневписанной окружностиСвойство: Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения

Свойство вневписанной окружностиДоказательство: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то

Вневписанная окружность в задачахПо итогам ОГЭ прошлого года многие девятиклассники даже

Задача 1. Алгоритм решения1. Обозначить О – центр вневписанной окружности, Q

Задача 2. Алгоритм решения1. Обозначить Q – центр вневписанной окружности, О

Задача 2. Алгоритм решения5. Рассмотреть подобные прямоугольные треугольники ANO и АМQ

Задача 2. Алгоритм решения8. Рассмотреть прямоугольный треугольник SВК, в котором по

Задача 3. Алгоритм решения1. Обозначить М – центр вневписанной окружности, О

ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник.(Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7])«Основание

ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник.(Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7])∆AQO

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.(Решу ОГЭ[9])«Две касающиеся

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.(Решу ОГЭ[9])Решение:Пусть Q

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.(Решу ОГЭ[9])Отрезки МС,

ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми.(Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по

ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми.(Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по

ЗАКЛЮЧЕНИЕВ результате проделанной работы я выяснила, что собой представляют вневписанные окружности

Похожие презентации

Цель
Научиться решать геометрические задачи, которые приводят к появлению вневписанной окружности, и

Задачи
1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника и рассмотреть ее свойство.
2.Проанализировать какие

Понятие вневписанной окружности
Определение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из

Понятие вневписанной окружности
Пусть на плоскости заданы три прямые, которые попарно пересекаются

Свойство вневписанной окружности
Свойство: Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения

Свойство вневписанной окружности
Доказательство: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то

Вневписанная окружность в задачах
По итогам ОГЭ прошлого года многие девятиклассники даже

Задача 1. Алгоритм решения
1. Обозначить О – центр вневписанной окружности, Q

Задача 2. Алгоритм решения
1. Обозначить Q – центр вневписанной окружности, О

Задача 2. Алгоритм решения
5. Рассмотреть подобные прямоугольные треугольники ANO и АМQ

Задача 2. Алгоритм решения
8. Рассмотреть прямоугольный треугольник SВК, в котором по

Задача 3. Алгоритм решения
1. Обозначить М – центр вневписанной окружности, О

ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник.
(Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7])
«Основание

ЗАДАЧА 1. Нахождение радиуса окружности вписанного в треугольник.
(Демонстрационный вариант 2018г., КИМ[7])
∆AQO

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.
(Решу ОГЭ[9])
«Две касающиеся

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.
(Решу ОГЭ[9])
Решение:
Пусть Q

ЗАДАЧА 2. Нахождение радиуса окруж - ности описанной около треугольника.
(Решу ОГЭ[9])
Отрезки МС,

ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми.
(Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по

ЗАДАЧА 3. Нахождение расстояния между прямыми.
(Ященко И.В., Шестаков С.А. «ОГЭ по

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проделанной работы я выяснила, что собой представляют вневписанные окружности