Введение в математический анализ

Понятие функции. Способы задания функций

Пусть X – некоторое множество действительных чисел.

Определение. Если каждому элементу x из множества X по некоторому закону

Множество X называется областью определения функции f(x) и обозначается D(f ).

Например, для функции y = sin x область определения D(f ) = R, область

Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).

Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения

К основным элементарным функциям относятся:
y = xa (при постоянном a ∊ R) – степенная функция;
y = ax

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические функции;
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x – обратные тригонометрические

Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y = f(u), где u

Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций

Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция

Функция, определяемая уравнениями
в которых зависимость между y и x

Например, уравнения
определяют линейную функцию

Предел числовой последовательности. Предел функции

Определение. Число A называется пределом последовательности
a1, a2, …,an,…, если

Если последовательность a1, a2, …an,… имеет своим пределом число A, то

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x → a (в точке

Обозначают этот факт так:

Если число A является пределом функции y = f(x) при x → a, то на

Так как из неравенства 0 <|x – a| < δ следует неравенство |f(x) – A| < ε, то это значит,

Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ±∞, если для любого

Функция y = f(x) называется ограниченной в области D, если существует постоянное число

Например, функция
ограничена для всех x ∊ R, так как в этой области

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если
Функция β(x)

Например, функция y = sin x является бесконечно малой при x → 0, а функция есть

Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая при x → a, то

Если функция β(x) – бесконечно большая при x → a, то
–

Справедливы следующие утверждения:
Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция.
Произведение конечного

Теоремы о пределах

Если пределы и
существуют и конечны, то

1)
где с = const;
2)

3)
4)
где

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:
где e — иррациональное число, e ≈ 2,718281828 — одна из

Функция y = ex = exp(x) называется экспонентой; y = loge x = ln x называется натуральным логарифмом.

Пример. Вычислить

Решение.Так как
то применима теорема о пределе частного. Значит,

Пример. Вычислить

Решение. Так как при x → ∞ числитель и знаменатель дроби, стоящей под

Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и знаменатель дроби на старшую

Пример. Вычислить

Решение. Так как
то имеем неопределённость вида

Так как,
то

Пример. Вычислить

Решение. Имеем неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение

Пример. Вычислить

Решение. Для раскрытия неопределённости воспользуемся первым замечательным пределом. Считая, что x ≠ 0,

Пример. Вычислить

Решение. Для раскрытия неопределённости 1∞ воспользуемся вторым замечательным пределом:

Сравнение бесконечно малых функций

Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x) и

Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно

Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными

Основные эквивалентности при x → 0:
sin kx ~ kx, tg kx ~ kx,
arcsin kx ~ kx, arctg kx ~ kx,
ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.

При вычислении пределов используют следующую теорему.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых

Пример. Вычислить

Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0
и

Сравнение бесконечно малых функций

Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x)

Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно

Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными

Основные эквивалентности при x → 0:
sin kx ~ kx, tg kx ~ kx,
arcsin kx ~ kx, arctg kx ~ kx,
ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.

При вычислении пределов используют следующую теорему.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых

Пример. Вычислить

Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0
и

Непрерывность функции

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если

Односторонними называются пределы:
левосторонний предел в точке a:
правосторонний предел в точке a:

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если существуют односторонние

Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя бы одно из равенств

Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или

Например, функция
имеет в точке x = 1 разрыв 1-го рода

Функция
имеет в точке x = 2 разрыв второго рода

Если функция непрерывна во всех точках отрезка [a; b], то она называется

Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы:
I. Если