Векторное произведение векторов

1.
2.
3. тройка – правая (т.е. при наблюдении из конца вектора кратчайший

Свойства векторного произведения

1.
2.
3.
4.

Если
то векторное произведение вычисляется по формуле

Приложения векторного произведения к задачам геометрии и механики.

Площадь параллелограмма (геометрический смысл векторного произведения).
Площадь треугольника

Момент силы (механический смысл векторного произведения).
Пусть точка А твердого тела закреплена,

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7,3,4), B(1,0,6) , C(4,5,-2).

Решение. Находим векторы
Вычисляем векторное произведение

Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов
называется число

Если
то

Приложения смешанного произведения к задачам геометрии

Объём параллелепипеда, построенного на векторах
(геометрический смысл смешанного произведения).
Объём пирамиды

Условие компланарности векторов в координатной форме:
– компланарны

Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках A(2,0,0), B(0,3,0), C(4,0,6),

Решение. Находим векторы
Вычислим смешанное произведение этих векторов:

Тогда

Модуль 2

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Плоскость и её основные уравнения

Рассмотрим плоскость P в прямоугольной декартовой

Положение плоскости вполне определяется
точкой
и вектором нормали

Возьмём любую точку
и построим вектор

Так как , то скалярное произведение
или

Получили уравнение плоскости, заданной
точкой
и вектором нормали

Если в уравнении
раскрыть скобки и обозначить
то получим

Теорема. Всякое уравнение вида
определяет некоторую плоскость в пространстве.

Если в этом уравнении какой-либо из коэффициентов A, B, C равен

Например, при A = 0 плоскость By + Cz + D

Пусть в уравнении
ни один из коэффициентов не равен 0.

где a, b, c – это величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью

Если три точки
не лежат на одной прямой, то через эти

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:

Пусть даны две плоскости
и
Угол φ между двумя плоскостями равен

Расстояние d от точки
до плоскости
определяется по формуле

Пример. Даны две точки
Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Решение. Поскольку искомая плоскость перпендикулярна вектору , то в качестве вектора

Подставив теперь в уравнение
а также координаты точки M1:
получим уравнение