Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла

Содержание

2. Площади фигур, расположенных над осью Ох Пусть на отрезке функция f(x) принимает неотрицательные значения, т.е. для
3. Площадь криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью ОХ, прямыми х=а и х=b и кривой
4. Вычислим площади фигур, ограниченных заданными линиями: Дано: =9x, x=16, x=25 и y=0 Решение: Для любого функция
5. Фигура, ограниченная различными кривыми. Найдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x). Для этого решим систему уравнений:
6. y=f(x) y=g(x) a b Найдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x). Для этого решим систему уравнений:
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, y+x-5=0 и y=0 Решение: 1. Выполним построение фигуры. Построим прямую
8. 3. Для треугольника AMN имеем х-2у+4=0; , ; а=-4; b=2. Для треугольника NMC получим х+у-5=0; у=-х+5;
9. Решение: Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой . Для этого решим систему , откуда Найдем
10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми Решение: Как видно из рисунка, площадь фигуры ОВАМАО можно представить как
11. Данную задачу можно решить и другим способом. Представим искомую площадь в виде разностей площадей фигур ОАМNO
12. Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью Ох Пусть на отрезке [a,b] задана неположительная непрерывная
13. у=-2х, у=0 и х=3 Решение: На отрезке [0,3] функция f(x)=-2x отрицательна; поэтому для вычисления площади искомой
14. Решение: Парабола пересекает ось абсцисс в точках х=0 и х=4. Фигура, площадь которой требуется найти, отмечена
15. Симметрично расположенные плоские фигуры Если кривая расположена симметрично относительно оси координат или начала координат, то можно
16. Симметрично расположенные плоские фигуры Решение: (кв.ед.)
17. Если f(x) на отрезке [a,b] меняет знак конечное число раз, то этот отрезок следует разбить на
18. Площади фигур, прилегающих к оси Оу Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограниченна непрерывной
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Площади фигур, расположенных над осью Ох
Пусть на отрезке функция f(x) принимает

неотрицательные значения, т.е. для любого . Тогда график функции y=f(x) расположен над осью Ох.
Если фигура, расположенная над осью Ох, является криволинейной трапецией( рис 1), то ее площадь вычисляется по известной формуле
или
где у находится из уравнения корней.

Слайд 3

Площадь криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью ОХ, прямыми х=а

и х=b и кривой y=f(x).

(рис.1)

Слайд 4

Вычислим площади фигур, ограниченных заданными линиями:
Дано: =9x, x=16, x=25 и y=0
Решение:
Для

любого функция
принимает положительные значения; поэтому для вычисления площади данной криволинейной трапеции следует воспользоваться формулой:
(кв.ед)

Вычислим площади фигур, ограниченных заданными линиями:

Слайд 5

Фигура, ограниченная различными кривыми.
Найдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x). Для

этого решим систему уравнений:

Пусть x=c, тогда

Если рассматриваемая фигура не является криволинейной трапецией, то искомую площадь нужно представить как сумму нескольких криволинейных трапеций.

Слайд 6

y=f(x)
y=g(x)
a
b
Найдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x). Для этого решим систему

уравнений:

Полученные значения переменной x являются пределами интегрирования.

Площадь этой фигуры находим как разность площадей криволинейных трапеций , ограниченными кривыми y=f(x) и y=g(x).

Слайд 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, y+x-5=0 и y=0
Решение: 1. Выполним

построение
фигуры. Построим прямую х-2у+4=0;
У=0, х=-47, А(-4, 0); х=0, у=2, В(0, 2).
Построим прямую х+у-5=0; у=0, х=5,
С(5,0); х=0, у=5, D(0,5).
2. Найдем точку пересечения прямых,
для чего решим систему
Отсюда х=2, у=3,
т.е. М(2;3). Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника АМN и NMC, так как при изменении х от N до С – прямой х+у-5=0.

Слайд 8

3. Для треугольника AMN имеем х-2у+4=0; , ;
а=-4; b=2. Для треугольника

NMC получим х+у-5=0; у=-х+5; f(x)=-х+5;
а=2; b=5.
4. Вычислим площадь каждого из этих треугольников:
(кв.ед.).
(кв.ед.).
Следовательно, (кв.ед.).
Проверка: (кв.ед.).

Слайд 9

Решение: Найдем абсциссы точек
пересечения параболы
и прямой . Для этого

решим
систему , откуда
Найдем площадь фигуры, ограниченной
параболой , прямыми и
Получим: (кв.ед.)
Найдем площадь фигуры, ограниченной прямыми
(кв.ед.)
Площадь искомой фигуры есть (кв.ед)

Слайд 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривыми
Решение: Как видно из рисунка, площадь
фигуры ОВАМАО можно

представить как
разность площадей фигур ОВМРО и ОАМРО,
где МР – перпендикуляр, опущенный из точки
М на ось Ох.
Найдем координаты точки М. Решив систему уравнений
получим х=4, у=4, т.е. М(4,4).
Следовательно,
(кв.ед.)

Слайд 11

Данную задачу можно решить и другим способом.
Представим искомую площадь в

виде разностей
площадей фигур ОАМNO и OBMNO ( MN –
перпендикуляр, опущенный из точки М на ось Оу),
т.е.
Тогда:
(кв.ед.)

Слайд 12

Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью Ох
Пусть на отрезке

[a,b] задана неположительная непрерывная функция y=f(x), т.е. для любого . Тогда график функции y=f(x) расположен под осью Ох.
Если фигура, расположенная под осью Ох, является криволинейной трапецией, например, то ее площадь вычисляется по формуле
или
где у находится из уравнения кривой.

Слайд 13

у=-2х, у=0 и х=3
Решение: На отрезке [0,3] функция
f(x)=-2x отрицательна; поэтому

для
вычисления площади искомой фигуры
воспользуемся приведенной выше
формулой:
(кв.ед)

Слайд 14

Решение: Парабола
пересекает ось абсцисс в точках х=0
и х=4. Фигура,

площадь которой требуется
найти, отмечена голубым цветом. Пусть
и - площади
частей этой фигуры, соответствующих отрезкам
[0,4] и [4,5] а S – искомая площадь; тогда
.
Используя первую из рассмотренных
формул, получим:
(кв.ед.),
а по второй формуле находим
(кв.ед.)

Слайд 15

Симметрично расположенные плоские фигуры
Если кривая расположена симметрично
относительно оси координат или начала
координат,

то можно упростить вычисления,
определив половину площади и затем
удвоив результат.

Слайд 16

Симметрично расположенные плоские фигуры

Решение:
(кв.ед.)

Слайд 17

Если f(x) на отрезке [a,b] меняет знак
конечное число раз, то

этот отрезок
следует разбить на части, на каждой
из которых функция знакопостоянна.
Интеграл по всему отрезку [a,b]
разбивают на сумму интегралов по
полученным частичным отрезкам.
Для вычисления суммы площадей нужно найти сумму абсолютных
величин интегралов по указанным выше отрезкам, т.е.
где

Слайд 18

Площади фигур, прилегающих к оси Оу
Если криволинейная трапеция прилегает к
оси ординат

и ограниченна непрерывной кривой
x=f(y), прямыми y=a, y=b и осью Оу, то ее
площадь вычисляется по формуле

Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла

Содержание

Площади фигур, расположенных над осью ОхПусть на отрезке функция f(x) принимает

Площадь криволинейной трапеции.Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью ОХ, прямыми х=а

Вычислим площади фигур, ограниченных заданными линиями:Дано: =9x, x=16, x=25 и y=0Решение:Для

Фигура, ограниченная различными кривыми.Найдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x). Для

y=f(x)y=g(x)abНайдем точку пересечения кривых y=f(x) и y=g(x). Для этого решим систему

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, y+x-5=0 и y=0Решение: 1. Выполним

3. Для треугольника AMN имеем х-2у+4=0; , ;а=-4; b=2. Для треугольника

Решение: Найдем абсциссы точекпересечения параболы и прямой . Для этого

Вычислить площадь фигуры, ограниченнойкривымиРешение: Как видно из рисунка, площадьфигуры ОВАМАО можно

Данную задачу можно решить и другим способом. Представим искомую площадь в

Площади фигур, расположенных полностью или частично под осью ОхПусть на отрезке

у=-2х, у=0 и х=3Решение: На отрезке [0,3] функция f(x)=-2x отрицательна; поэтому

Решение: Парабола пересекает ось абсцисс в точках х=0и х=4. Фигура,

Симметрично расположенные плоские фигурыЕсли кривая расположена симметричноотносительно оси координат или началакоординат,

Симметрично расположенные плоские фигуры Решение: (кв.ед.)

Если f(x) на отрезке [a,b] меняет знак конечное число раз, то

Площади фигур, прилегающих к оси ОуЕсли криволинейная трапеция прилегает коси ординат

Похожие презентации