Выпуклый анализ. Теоремы об отделимости выпуклых множеств. Лекция 19

6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

6.5. Теорема Фаркаша

причем множество

Пусть заданы матрицы

Теорема 6 (Фаркаша).

такие что

6.5.

Доказательство. Необходимость.

Тогда

Эквивалентная формулировка теоремы.

Из (1)следует

в силу (3) выводим

От противного приходим к

можно нарушить неравенство (4).

Полученное противоречие доказывает необходимость

Достаточность.

Теорема доказана полностью.

Дадим геометрическую интерпретацию теореме Фаркаша для частного случая

и

Тогда

Теорема 5 (Фаркаша).

Упражнение.

Решение.