Объём и площадь цилиндра, пирамиды, конуса и шара
Введение Понятие объёма тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нам тел имеет объём, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объёмов. За единицу измерения объёмов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3. Аналогично определяются кубический метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д. Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объём каждого тела выражается поло -жительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объём тела, зависит от выбора единицы измерения объёмов, и поэтому еди -ница измерения объёмов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объёмов взят 1 см3 и при этом объём V некото -рого тела оказался равен 2, то пишут: V = 2 см 3. Если два тела равны, то каждое из них содержит столько же единиц измерения объёмов и её частей, сколько и другое тело, т. е. имеет следующее свойство объёмов: 10. Равные тела имеют равные объёмы. Замечание Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии два тела называются равными, если их совместить наложением. Примерами равных тел являются два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями, две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами, две правильные пирамиды, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты. В каждом из указанных случаев равенство двух тел можно доказать на основе аксиом наложения и равенства фигур. Рассмотрим ещё одно свойство объёмов, пусть тело составлено из нескольких тел. При этом мы предполагаем, что любые два из этих тел не имеют общих внутренних точек, но могут иметь общие граничные точки. Ясно, что объём всего тела складывается из объёмов составляющих его тел. Итак, 20. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.