Числовые последовательности - презентация по Алгебре

числовых последовательностей
Предел числовой последовательности
Гармонический ряд
Свойства пределов
Примеры
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Предел функции на бесконечности
Предел функции в точке
Непрерывность функции в точке

n – 1,  n, п + 1, …
Функцию y = f(x), x  N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или  y1,  y2, …, yn, … или {уn}.
Величина уn называется общим членом последовательности.

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

4,  6,  8,  10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN;
и т.д.

простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

не больше некоторого числа.

Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≤ М
Число М называют верхней границей последовательности.

не меньше некоторого числа.

Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

ее член больше предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.
Это понятие имеет более строгое определение.

Число а называется пределом числовой последовательности {уn}:
если для любого ε > 0 найдется такое число
N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N

её общий член неограниченно приближается к a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a – ε, a + ε).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

последовательность уn = q n
расходится

равен сумме пределов:
постоянный множитель можно вынести за знак предела:

b3 + b4 + … + bn + … = 9;
(b1)2 + (b2)2 + (b3)2 + (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5.
Найти: b5.
Решение:

является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).

х

у

y = f(x)

0

у = b

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε.

х

y = f(x)

0

b

у

а