Алгебра высказываний (логические операции)

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы определять истинность или

Логические переменные

Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль.
Обозначаются

Логические переменные

Например, два простых высказывания:
А = «2 × 2 = 4» истина

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать

В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные

Составные высказывания

Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе

Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение, «И»)
Дизъюнкция (логическое сложение, «ИЛИ»)
Инверсия (логическое отрицание, «НЕ»)
Импликация

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «И»

Логическая функция, полученная в результате конъюнкции, истинна тогда и только тогда,

Конъюнкция. Определите истинность логической функции
«2 × 2 = 5» И «3

Запись конъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
F(A,B) = A & B

Значение логической функции определяется по ее таблице истинности

Таблица истинности показывает какие

Таблица истинности для конъюнкции

Таблица истинности для конъюнкции

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ»

Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции, истинна тогда, когда истинна хотя

Дизъюнкция. Определите истинность логической функции
«2 × 2 = 5» ИЛИ «3

Запись дизъюнкции на формальном языке алгебры высказываний
F(A,B) = A ∨ B

Таблица истинности для дизъюнкции

Таблица истинности для дизъюнкции

Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания, или инверсией

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным

Инверсия

Пусть
A = «2 × 2 = 4»
– истинное высказывание, тогда
F(A)

Запись инверсии на формальном языке алгебры высказываний

F(A) = ¬A
или
F(A) = Ā
Также

Таблица истинности для инверсии

Таблицы истинности основных логических функций

Логическое умножение

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A ∧ B
0
0
0
1

Логическое сложение

Логическое отрицание

A
0
1

¬A
1
0

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

А ∨

Дополнительные логические функции

Импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию

Импликация

Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе –

Импликация

Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие

Таблица истинности для импликации

Эквивалентность

Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно

Таблица истинности для эквивалентности

Переместительный

Дизъюнкция:
X ∨ Y ≡ Y ∨ X
Конъюнкция:
X ∧ Y ≡ Y

Сочетательный

Дизъюнкция:
X ∨ (Y ∨ Z) ≡ (X ∨ Y) ∨ Z
Конъюнкция:
X

Распределительный

Дизъюнкция:
X ∧ (Y ∨ Z) ≡ X ∧ Y ∨ X

Правила де Моргана

Дизъюнкция:
¬(X ∨ Y) ≡ ¬X ∧ ¬Y
Конъюнкция:
¬(X

Идемпотенции

Дизъюнкция:
X ∨ X ≡ X
Конъюнкция:
X ∧ X ≡ X

Основные

Поглощения

Дизъюнкция:
X ∨ (X ∧ Y) ≡ X
Конъюнкция:
X ∧ (X

Склеивания

Дизъюнкция:
(X ∧ Y) ∨ (¬X ∧ Y) ≡ Y
Конъюнкция:
(X

Переменная со своей инверсией

Дизъюнкция:
X ∨ ¬X ≡ 1
Конъюнкция:
X ∧

Операция с константами

Дизъюнкция:
X ∨ 0 ≡ X, X ∨ 1

Двойного отрицания

¬(¬X) ≡ X

Основные законы алгебры высказываний