Алгоритмические основы трехмерной графики

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Алгоритмические основы трехмерной графики

Содержание

2. Преобразования координат . Если при всех i = 1, 2, …, N функции fi – линейные
3. Метод однородных координат . V=(x, y, z, w) [ X Y Z 1 ] = [
4. Преобразования в однородных координатах . Композиции преобразований
5. Преобразования Эйлера . Любое заданное направление осей объектной системы координат можно получить, выполняя три поворота вокруг
6. Преобразования в однородных координатах .
7. Пример преобразования: задача . 1-й шаг. Перенос на вектор -А(-а, -Ь, -с) Построить матрицу вращения на
8. Пример преобразования (продолжение) . 4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -Ө. 5-й шаг. Поворот
9. Проецирование . Проецирование в общем случае – отображение точек, заданных в системе координат с размерностью N,
10. Проецирование . …
11. Проецирование: центральное и параллельное . Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом общих свойств:
12. Проецирование: центральное и параллельное . Проекцией плоскости является плоскость. Если плоскость параллельна плоскости проекций, то проекции
13. Проецирование: ортогональное . Положение точки в пространстве однозначно определяется двумя проекциями. Одну из них принято располагать
14. Проецирование: аксонометрическое . Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на: косоугольные, когда направление проецирования
16. Проецирование: изометрия . При прямоугольном проецировании может быть получена только одна изометрическая проекция и бесконечное множество
17. Проецирование: диметрия . Прямоугольная диметрия u = w, v = 0.5u 2u2 + (u/2)2 = 2,
18. Прямоугольные проекции: примеры чертежей .
19. Проецирование: свободная и кабинетная проекции . В косоугольных проекциях выделяют два вида: свободную – когда угол
20. Проецирование: косоугольные проекции по ГОСТ 2.317-69 Фронтальная изометрическая проекция (u = v = w = 1)
21. Косоугольные проекции: примеры чертежей
22. Проецирование в однородных координатах . Косоугольное проецирование Ортографическое проецирование вдоль Z на плоскость XY Общий случай
23. Проецирование: центральное (перспективное) . x = X.t; y = Y.t; z = D + (Z–D).t 0
24. Проецирование в однородных координатах . Центральное проецирование: одноточечное и общий случай
25. Проецирование: специальные проекции . Специальные перспективные проекции – проекции на цилиндрические, конические, сферические и др. поверхности
26. Проецирование: пример стереоизображения .
27. Проецирование: стереограмма .
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Преобразования координат
.
Если при всех i = 1, 2, …, N функции

fi – линейные относительно аргументов (k1, k2, …, kn), то такие преобразования называют линейными, а при n = N – аффинными

Преобразования координат в явном и неявном виде широко используются в компьютерной графике с целью описания графического объекта в наиболее удобных координатных системах, для изменения масштаба элементов чертежа, построения проекций пространственных образов, направленной деформации объектов.

Слайд 3

Метод однородных координат
.
V=(x, y, z, w)
[ X Y Z 1

] = [ (x/w) (y/w) (z/w) 1 ]

Использование механизма однородных координат позволяет применять единый математический аппарат для пространственных преобразований (поворотов, масштабирования, переноса) точек, прямых, квадратичных и бикубических поверхностей и линий

Слайд 4

Преобразования в однородных координатах
.
Композиции преобразований

Слайд 5

Преобразования Эйлера
.
Любое заданное направление осей объектной системы координат можно получить, выполняя

три поворота вокруг двух координатных осей, при этом для первого (ψ) и третьего (φ) поворота берется одна ось, которая в процессе преобразования сама поворачивается (θ).

Слайд 6

Преобразования в однородных координатах
.

Слайд 7

Пример преобразования: задача
.
1-й шаг. Перенос на вектор -А(-а, -Ь, -с)
Построить матрицу

вращения
на угол φ вокруг прямой L, про-
проходящей через точку А(а, Ь, с) и
имеющую направляющий вектор
(l, m, n). Можно считать, что
направляющий вектор прямой
является единичным.

2-й шаг. Совмещение оси аппликат с прямой L двумя поворотами ψ и Ө
вокруг оси абсцисс и оси ординат.

3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол φ.

Слайд 8

Пример преобразования (продолжение)
.
4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -Ө.

5-й шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -ψ.
6-й шаг. Перенос на вектор А(а, Ь, с).

Окончательно:

Слайд 9

Проецирование
.
Проецирование в общем случае – отображение точек, заданных в системе координат

с размерностью N, в точки в системе с меньшей размерностью.

Слайд 10

Проецирование
.
…

Слайд 11

Проецирование: центральное и параллельное
.
Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом

общих свойств:
Проекция точки есть точка. При заданном центре Р (или направлении S) проецированию любой точки А пространства соответствует на плоскости проекций p' единственная точка А'.
Проекция прямой есть прямая.
2.1) При параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций: АВ/ВС = А'В'/В'С.
2.2) При параллельном проецировании проекции параллельных прямых есть прямые параллельные.

Слайд 12

Проецирование: центральное и параллельное
.
Проекцией плоскости является плоскость.
Если плоскость параллельна плоскости проекций,

то проекции ее плоских фигур при центральном проецировании подобны самим фигурам, а при параллельном — равны им.
При параллельном проецировании проекция фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций.

Слайд 13

Проецирование: ортогональное
.
Положение точки в пространстве однозначно определяется двумя проекциями. Одну из них

принято располагать горизонтально (горизонтальная плоскость проекций), другую – вертикально (фронтальная плоскость проекций). Иногда используется третья плоскость – перпендикулярная двум первым (профильная плоскость проекций).

Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.

Слайд 14

Проецирование: аксонометрическое
.
Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:
косоугольные, когда направление

проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций;
2) прямоугольные, когда направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:
1) изометрия: u = v = w
2) диметрия: u ≠ v = w или u = v ≠ w
3) триметрия: u ≠ v ≠ w

φ — угол между направлением проецирования и плоскостью аксонометрических проекций. В случае φ = 90° u2 + v2 + w2 = 2.

Слайд 15

Слайд 16

Проецирование: изометрия
.
При прямоугольном проецировании может быть получена только одна изометрическая проекция и

бесконечное множество диметрических и триметрических проекций.

Прямоугольная изометрия
Зu2 = 2,
u = (2/3)1/2 и u = v = w = 0,82.
ГОСТ 2.317—69 : u = v = w = 1.

Слайд 17

Проецирование: диметрия
.
Прямоугольная диметрия
u = w, v = 0.5u
2u2 + (u/2)2 = 2,

u = w = (8/9)1/2 = 0.94
v = 0.47.
ГОСТ 2.317—69 : u = w = 1, v=0.5.

Слайд 18

Прямоугольные проекции: примеры чертежей
.

Слайд 19

Проецирование: свободная и кабинетная проекции
.
В косоугольных проекциях выделяют два вида: свободную –

когда угол наклона проектирующих лучей к плоскости экрана равен половине прямого, и кабинетную – частный случай свободной проекции, при котором масштаб по третьей оси вдвое меньше.

Слайд 20

Проецирование: косоугольные проекции по ГОСТ 2.317-69
Фронтальная изометрическая проекция (u = v =

w = 1)

Горизонтальная изометрическая проекция (u = v = w = 1)

Фронтальная диметрическая проекция (u = w = 1, v = 0.5)

Слайд 21

Косоугольные проекции: примеры чертежей

Слайд 22

Проецирование в однородных координатах
.
Косоугольное проецирование
Ортографическое проецирование
вдоль Z на плоскость XY
Общий случай аксонометрической

проекции.
Для изометрии ϕ = 35°; ψ = -45°
Для диметрии ϕ = 20°; ψ = -20°

- фронтальная изометрическая

- фронтальная диметрическая

Слайд 23

Проецирование: центральное (перспективное)
.
x = X.t; y = Y.t; z = D +

(Z–D).t

0 ≤ t ≤ 1

t(Z=0) = 1/(1–Z/D)

В параметрическом виде:

x = X/(1–Z/D); y = Y/(1–Z/D)

Слайд 24

Проецирование в однородных координатах
.
Центральное проецирование: одноточечное и общий случай

Слайд 25

Проецирование: специальные проекции
.
Специальные перспективные проекции – проекции на цилиндрические, конические, сферические и

др. поверхности с последующим разворачиванием полученной проекции на плоскость.
Еще один вид специальных проекций – стереоскопические. Простейший вид стереоизображения образуется с помощью стереопары – двух перспективных проекций, построенных каждая для своего «глаза».

Слайд 26

Проецирование: пример стереоизображения
.

Слайд 27

Алгоритмические основы трехмерной графики

Содержание

Преобразования координат.Если при всех i = 1, 2, …, N функции

Метод однородных координат.V=(x, y, z, w) [ X Y Z 1

Преобразования в однородных координатах.Композиции преобразований

Преобразования Эйлера.Любое заданное направление осей объектной системы координат можно получить, выполняя

Преобразования в однородных координатах.

Пример преобразования: задача.1-й шаг. Перенос на вектор -А(-а, -Ь, -с)Построить матрицу

Пример преобразования (продолжение).4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -Ө.

Проецирование.Проецирование в общем случае – отображение точек, заданных в системе координат

Проецирование.…

Проецирование: центральное и параллельное. Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом

Проецирование: центральное и параллельное.Проекцией плоскости является плоскость. Если плоскость параллельна плоскости проекций,

Проецирование: ортогональное.Положение точки в пространстве однозначно определяется двумя проекциями. Одну из них

Проецирование: аксонометрическое.Аксонометрические проекции в зависимости от направления проецирования разделяют на:косоугольные, когда направление

Проецирование: изометрия.При прямоугольном проецировании может быть получена только одна изометрическая проекция и

Проецирование: диметрия.Прямоугольная диметрияu = w, v = 0.5u2u2 + (u/2)2 = 2,

Прямоугольные проекции: примеры чертежей.

Проецирование: свободная и кабинетная проекции.В косоугольных проекциях выделяют два вида: свободную –

Проецирование: косоугольные проекции по ГОСТ 2.317-69Фронтальная изометрическая проекция (u = v =