Динамика стержневых систем с распределенными массами 2

F (t)

qin(x,t)

qf (x,t)

0

N0 (t)

dx

N (x,t)

q (x,t)

qin(x,t)

qf (x,t)

интенсивность
сил инерции

– сопротивление
вязкой среды

1. Статическая
сторона задачи:

Σ x = 0

( 1 )

2. Геометрическая сторона задачи
(соотношение Коши):

( 2 )

3. Физическая сторона задачи:

– закон Гука:

( 3а )

– закон
инерции:

( 3б )

– модель
вязкого
трения:

( 3в )

F (t)

qin(x,t)

qf (x,t)

0

N0 (t)

dx

N (x,t)

q (x,t)

qin(x,t)

qf (x,t)

интенсивность
сил инерции

– сопротивление
вязкой среды

1. Статическая
сторона задачи:

Σ x = 0

( 1 )

3. Физическая сторона задачи:

– закон
инерции:

– модель
вязкого
трения:

F (t)

qin(x,t)

qf (x,t)

0

N0 (t)

dx

N (x,t)

q (x,t)

qin(x,t)

qf (x,t)

интенсивность
сил инерции

– сопротивление
вязкой среды

1. Статическая
сторона задачи:

Σ x = 0

( 1 )

F (t)

qin(x,t)

qf (x,t)

0

N0 (t)

dx

N (x,t)

q (x,t)

qin(x,t)

qf (x,t)

интенсивность
сил инерции

– сопротивление
вязкой среды

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой
(сопротивление – по модели Фойгта)

– уравнение в частных производных с переменными коэффициентами

Частные случаи:

1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

F (t)

qin(x,t)

0

N0 (t)

dx

N (x,t)

q (x,t)

qin(x,t)

интенсивность
сил инерции

1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

– уравнение в частных производных с переменными коэффициентами

Частные случаи:

2. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

– уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами

Волновое
уравнение

F (t)

qin(x,t)

0

N0 (t)

dx

N (x,t)

q (x,t)

qin(x,t)

интенсивность
сил инерции

Частные случаи:

Волновое
уравнение

2. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

– уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами

Решение уравнения:

полигармоническая
собственная
составляющая

3. Дифференциальное уравнение
гармонического движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

– уравнение в амплитудах перемещений

F (t)

qin(x,t)

0

N0 (t)

dx

N (x,t)

q (x,t)

qin(x,t)

интенсивность
сил инерции

Частные случаи:

Решение уравнения:

– уравнение в амплитудах перемещений

3. Дифференциальное уравнение
гармонического движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

При q(x) = const = q

u0(t)

F (t)

qin(x,t)

0

N0 (t)

Частные случаи:

– уравнение в амплитудах перемещений

3. Дифференциальное уравнение
гармонического движения
растянутого/сжатого
прямолинейного стержня
постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

Решение уравнения по МНП при q(x) = const = q :

q (x,t) = q (x)

F (t) = F

qin (x,t) = qin (x)

* sin ωF t

u0(t) = u0

u0(t)

N0(t) = N0

u (x,t) = u (x)

4. Дифференциальное уравнение
собственных колебаний
растянутого/сжатого
прямолинейного стержня
постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

* sin ω t

Решение уравнения по МНП при q(x) = 0 :

F(t) – сила инерции точечной
массы или реакция
упругой продольной связи

интенсивность
инерционных
моментов

1. Статическая
сторона задачи:

Σ mx = 0

( 1 )

2. Геометрическая сторона задачи
( погонный угол закручивания ):

( 2 )

3. Физическая сторона задачи:

– закон Гука:

( 3а )

– закон
инерции:

( 3б )

M (t)

m (x,t)

min(x,t)

m (x,t)

– угол закручивания

интенсивность
инерционных
моментов

1. Статическая
сторона задачи:

Σ mx = 0

( 1 )

M (t)

m (x,t)

min(x,t)

m (x,t)

– угол закручивания

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

интенсивность
инерционных
моментов

M (t)

m (x,t)

min(x,t)

m (x,t)

– угол закручивания

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

Частные случаи:

1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

Волновое
уравнение

Решение уравнения:

полигармоническая
собственная
составляющая

интенсивность
инерционных
моментов

M (t)

m (x,t)

min(x,t)

m (x,t)

– угол закручивания

Частные случаи:

Волновое
уравнение

Решение уравнения:

полигармоническая
собственная
составляющая

1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

2. Дифференциальное уравнение
гармонических крутильных колебаний
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

интенсивность
инерционных
моментов

M (t)

m (x,t)

min(x,t)

m (x,t)

– угол закручивания

Частные случаи:

Решение уравнения:

2. Дифференциальное уравнение
гармонических крутильных колебаний
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

При m(x) = const = m

ϕ0(t)

3. Дифференциальное уравнение
собственных крутильных колебаний
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

F (t)

qin, x(x,t)

qin, y(x,t)

q (x,t)

M (t)

J1 (t)

Ji (t)

Jk (t)

Jn (t)

Zn+2 (t)

ZnZ (t)

Z1 (t)

Zi (t)

Zn+1 (t)

Zn (t)

Zk (t)

F (t) = F

q (x,t) = q (x)

M (t) = M

J1 (t) = J1

Jn (t) = Jn

qin, x(x,t) = qin, x (x)

qin, y(x,t) = qin, y (x)

Z1 (t) = Z1

Zn (t) = Zn

* sin ωF t

Канонические уравнения МП в амплитудах перемещений

nZ – n

Типовые задачи
для элементов ОСМП –
с учётом сил инерции
распределённых масс:

qin, y(x)

bj

ej

θbj = 1

4ij * ψ2(νj )

2ij * ψ3(νj )

ij = EIj /lj

4ij

2ij