Движение свободной частицы

скоростью υ вдоль некоторого направления, выбранного за ось х, причем нет никаких сил, действующих на частицу,— ее движение свободно. Импульс частицы p = mυ, а длина волны де Бройля λ = h/p. Движению частицы вдоль оси х соответствует распространяющаяся в этом же направлении волна де Бройля, характеризуемая волновым числом k = 2n/λ. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х и имеющей определенную частоту ν и волновое число k, имеет вид :
s = A cos (ωt - kx), где A — амплитуда волны.
В квантовой механике показывается, что общим уравнением плоской дебройлевской волны является выражение
= А(cosα – isinα), (26.11)
где α = ωt - kx = (26.12)

мнимая единица (т. е. i2= -1).
Вероятность обнаружить частицу в объеме ΔV определяется по формуле |ψ|2 = ψψ* есть квадрат модуля ψ-функции, т. е. произведение ψ на ψ*-функцию, комплексно-сопряженную с ψ (иными словами, отличающуюся от ψ знаком при мнимой единице). Вычисляя произведение ψψ* , получим

| ψ |2 = ψψ* = A (cos α + i sin α) · A (cosα - i sin α) =
= A2 (cos2 α - i cos α sin α + i sin α cos α + sin2 α) = A2.

Итак, имеется постоянная, не зависящая от времени интенсивность волны де Бройля. В соответствии с физическим смыслом волн де Бройля это показывает, что имеется постоянная, одинаковая вероятность обнаружить частицу в любой точке на оси х.

С точки зрения соотношений неопределенностей свободное движение частицы с точно заданным импульсом р означает, что положение частицы

вероятность обнаружить частицу во всех точках оси х. Частица может двигаться с любой скоростью υ, которой соответствует энергия E= mυ2/2, принимающая вместе со скоростью υ любые возможные значения.

Выразим энергию частицы через длину волны де Бройля λ. По формуле λ = h/mυ, откуда υ = h/mλ. Подставив это в выражение энергии, получим

(26.13)

Наконец, учитывая, что λ = 2π/k, можно выразить энергию E через волновое число k:

На рис. 26.1 изображена парабола, выражающая зависимость энергии E свободной частицы от волновых чисел k дебройлевских волн частицы, т. е. от скорости υ = k/m.

(26.14)

k

E

Рис. 26.1

образом. От начала координат x = 0 до точки x = L частица движется свободно. Однако она не может выйти за пределы области (0, L). Это значит, что на границах области (0, L), в точках х = 0 и х = L, потенциальная энергия U частицы становится равной бесконечности. Можно представить себе, например, что частица движется по дну плоского ящика с идеально отражающими бесконечно высокими стенками. В таком случае говорят, что частица находится внутри бесконечно глубокой потенциальной ямы и ее движение ограничено некоторым потенциальным барьером.

Частица в потенциальной яме прямоугольной формы

Рис. 26.1

мы пользуемся представлением o том, что свободные (валентные) электроны металла находятся внутри потенциального ящика с плоским дном, причем высота потенциального барьера равна работе выхода электрона из металла. Таким образом, задача, о которой пойдет речь, является упрощенной моделью реальной и очень важной физической задачи.

В этой задаче мы встречаемся с ограничением движения частицы. Она находится внутри прямоугольной ловушки — за- перта в ней.
Форма ловушки зависит от потенциальной энергии частицы.
В данном случае потенциальная энергия частицы весьма просто зависит от координаты х: если x < 0 или x > L, то U = ∞; если 0 ≤ x ≤ L, то U = 0.

ловушки. На стенках ящика происходит отражение волны, и в результате внутри потенциальной ямы при наложении падающей и отраженной волн должны образоваться стоячие дебройлевские волны. Аналогичную картину мы имеем при рассмотрении стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

Рис. 26.1

При возбуждении колебаний в струне установится стоячая волна, причем на концах обязательно получатся узлы, а между ними — одна либо несколько пучностей. Но расстояние между двумя узлами равно половине длины волны, следовательно, на длине стержня уложится целое число полуволн:
L = nλn/2 или λn = 2L/n (где n =1, 2, 3, ...).
Выразив длину волны через частоту колебаний и скорость распространения волны, получим значения собственных частот:
ω = nπυ/L, v = ω/2π = nυ/2L.

(26.15)

от целых чисел n, поэтому и обозначена через λn. Существует некоторый дискретный набор длин волн, которые могут установиться в закрепленной струне.
Очевидно, что эти рассуждения применимы и к дебройлевской волне частицы, движущейся внутри прямоугольной ловушки. На длине потенциальной ямы должно уложиться целое число полуволн де Бройля. Формулу (26.13) теперь запишем несколько иначе:

(26.13’)

Индекс n у скорости υ и энергии E показывает, что скорость и энергия частицы в потенциальной прямоугольной ловушке не могут иметь произвольных значений. Вместе с длиной волны λ скорость и энергия будут квантованными величинами, принимающими лишь определенные дискретные значения. Подставим в (26.13') значения λn из (26.15). Получим

может иметь квантованные значения энергии, прямо пропорциональные квадратам целых чисел n.

(n =1,2,3,….)

(26.16)

До сих пор речь шла о любой микроскопической частице, обладающей волновыми свойствами и запертой внутри ловушки. Предположим теперь для определенности, что мы говорим об электроне, находящемся в потенциальной ловушке. Квантованные значения En называются уровнями энергии, а числа n, определяющие энергетические уровни электрона, называются квантовыми числами. Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне.

Этим подчеркивается, что состояние электрона с энергией En не зависит от времени и электрон может в отсутствие внешних воздействий находиться в этом состоянии как угодно долго.
Очень важно, что электрон не может обладать энергией, не совпадающей с одним из энергетических уровней. Дозволенными являются только такие энергии электрона в потенциальном ящике прямоугольной формы, которые совпадают с энергетическими уровнями, определяемыми формулой (26.16).

Рассмотрим влияние линейных размеров ловушки на квантование энергии. Покажем, что квантование энергии становится существенным лишь в том случае, когда линейные размеры потенциального ящика соизмеримы с размерами атома L= 1 нм =
=10-9 м. Для этого вычислим разность ΔE энергий электрона, находящегося на двух соседних энергетических уровнях En+1 и En. По формуле (26.16) имеем

m = 9,l·10-31 кг для электрона, находящегося в потенциальном ящике с линейными размерами L = 10-9 м, соизмеримыми с размерами атома. Мы получим

«Расстояние» между соседними энергетическими уровнями с ростом n возрастает пропорционально ряду нечетных чисел (2n +1).
Для ящика макроскопических размеров L = 10-2 м аналогично получим следующие результаты:

эти уровни практически непрерывными. Они образуют густо расположенную последовательность квазинепрерывных уровней. Квантование энергии электрона в ловушке макроскопических размеров дает результаты, несущественно отличающиеся от результатов классической физики, где энергия электрона может принимать любые значения, т. е. может изменяться непрерывно. Заметим, что при L→∞ последовательность уровней становится строго непрерывной, так как ΔE→0.

При обсуждении роли соотношений неопределенностей для описания движений мы видели, что при макроскопическом движении частицы можно не принимать во внимание ограничений, которые вносят соотношения неопределенностей в возможность описывать движение с помощью понятия о траектории. Наоборот, при движении электрона в атоме, где он заперт в ловушке с линейными размерами порядка размеров атома, понятие о траектории частицы становится неправомерным.

также ведет себя классическим образом: она может принимать произвольные непрерывные значения. Совершенно иную картину мы имеем в случае, когда электрон заперт в ловушке атомных размеров. Здесь не только теряет смысл понятие о траектории электрона, важнейшая его характеристика — энергия — оказывается квантованной. Она может изменяться лишь «скачкообразно», так, чтобы электрон переходил с одного энергетического уровня на другой. Этот вывод является фундаментальным в квантовой механике и не зависит от конкретной формы потенциальной ямы (ловушки), в которой находится электрон или другая микрочастица.

этого воспользуемся формулой (26.16') для разности ΔЕ и составим отношение ΔЕ /Еп. Получим
При больших значениях квантового числа п имеем 2п+1\≈2п и отношение (26.17) дает

(26.17)

(26.18)

классическим результатам, т. е. квантовые результаты переходят в классические.

Принцип соответствия Бора

Видно, что при n >> 1 отношение ΔE/En << 1, или ΔE << En. Это означает, что при росте квантового числа n разность ближайших энергетических уровней растет медленнее, чем величина энергии каждого из уровней. Другими словами, с ростом n должно происходить относительное сближение энергетических уровней. При больших квантовых числах квантование энергии дает результаты, близкие к тем, которые получаются при классическом рассмотрении,— уровни становятся квазинепрерывными. В этом находит свое выражение принцип соответствия, в окончательном виде сформулированный Н. Бором в 1923 г.:

теорией, которая является обобщением и развитием классической, и первоначальной классической теорией существует связь — в определенных предельных случаях новая теория должна переходить в старую. Так, например, мы видели, что формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят в формулы классической механики Ньютона при скоростях υ << с таких, что (υ/с)2 << 1; выводы волновой оптики переходят в результаты геометрической оптики, если можно пренебречь длиной световой волны по сравнению с любыми расстояниями, встречающимися в данной задаче, и считать, что λ → 0. Между квантовой механикой и классической предельный переход связан с возможностью пренебречь конечностью величины h и считать h = 0.