Содержание
- 2. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ В трехмерном пространстве положение каждой точки задается набором из 3 вещественных чисел – координат
- 3. ДЕКАРТОВА СК
- 4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Сферические координаты являются обобщением полярных координат на случай трехмерного пространства, получаемого путем добавления еще
- 5. СФЕРИЧЕСКАЯ СК
- 6. ВЗАИМОСВЯЗЬ ДЕКАРТОВЫХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТОЧКИ
- 7. ОБЪЕКТЫ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ Для описания объектов конечных размеров с объектом, как и в двумерном случае, связывают
- 8. ОРИЕНТАЦИЯ ОБЪЕКТА В ПРОСТРАНСТВЕ Ориентация объекта в пространстве определяется ориентацией осей объектной системы координат относительно осей
- 9. ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Наиболее часто используется способ, предложенный в 1748 году Леонардом Эйлером, а соответствующий
- 10. ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ Согласно Эйлеру для этого необходимо выполнить следующую последовательность поворотов поворот вокруг оси Z’ на
- 11. ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ поворот вокруг оси X’’ на угол θ, называемый углом нутации, такой, чтобы ось Z’
- 12. ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
- 13. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Преобразование координат Матрица поворота
- 14. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЙЛЕРОВЫХ УГЛОВ Эйлеровы углы традиционно используются в механике для задания ориентации твердого тела в
- 15. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В трехмерном пространстве (3D) положение точки может быть задано в однородных координатах p(x, y,
- 16. МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ Вращение на угол φ вокруг оси абсцисс: Rx(φ) = Rx(φ) =
- 17. МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ Вращение на угол ψ вокруг оси ординат: Ry(ψ) =
- 18. МАТРИЦЫ ВРАЩЕНИЯ Вращение на угол χ вокруг оси аппликат : Rz(χ) =
- 19. ПРОЧИЕ МАТРИЦЫ Матрицы растяжения/сжатия, матрицы отражения относительно координатных плоскостей и матрица перемещения легко могут быть построены
- 20. ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Так же, как и при использовании эйлеровых углов, совмещение осей объектной системы
- 21. ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Математически такой поворот описывается следующей матричной операцией: (x’’, y’’, z’’, 1) =
- 22. ПОВОРОТ ОБЪЕКТНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Последний поворот выполняется на некоторый угол χ вокруг оси OZ до совмещения
- 23. МАТРИЦА ПОВОРОТА Полная матрица поворота, полученная перемножением трех матриц имеет вид: R(φ, ψ, χ) =
- 24. АЛГОРИТМЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
- 25. ЗАДАЧА ПРОЕЦИРОВАНИЯ Отображение некоторого множества точек S пространства Rn на другое пространство Rm той же или
- 26. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ Для построения проекции выбирается некоторая точка – центр проецирования – и плоскость проецирования или
- 27. ВИДЫ ПРОЕКЦИЙ Если в качестве центра проецирования выбирается собственная точка пространства R3, то проекция называется центральной
- 28. ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ В зависимости от расположения картинной плоскости и координатных осей параллельные проекции делятся на
- 29. ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проецирования вдоль
- 30. ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ В случае, если картинная плоскость параллельна плоскости YOZ, матрица проецирования умножается на матрицу параллельного
- 31. ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Аналогичным образом могут быть получены матрицы проецирования вдоль двух других координатных осей:
- 32. ВЫРОЖДЕННОСТЬ МАТРИЦ Матрицы проецирования являются вырожденными, т.е. проецирование является необратимой операцией Это отражает тот очевидный факт,
- 33. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ При аксонометрической проекции проектирующие прямые также перпендикулярны картинной плоскости, однако сама картинная плоскость ориентирована
- 34. АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
- 35. ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ В соответствии со взаимным расположением картинной плоскости и координатных осей различают три вида
- 36. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ Любая аксонометрическая проекция может быть получена комбинацией поворота до совмещения нормали к картинной
- 37. ВЫБОР ПЛОСКОСТИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ В дальнейшем мы будем рассматривать фронтальные проекции объектов, то есть в качестве картинной
- 38. ВЫБОР УГЛОВ ПОВОРОТА
- 39. МАТРИЦА ПОВОРОТА Совмещение вектора нормали к картинной плоскости с осью OZ мировой системы координат достигается выполнением
- 40. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ После перемножения матриц Ry(Ψ) и Rx(φ), а также последующего проецирования вдоль оси Z
- 41. ТРИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ При таком проецировании единичные орты координатных осей преобразуются следующим образом: ex*M=(1 0 0 1)*M=(cosψ,
- 42. ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Равенство углов между нормалью к картинной плоскости и двумя координатными осями означает равенство проекций
- 43. ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Отсюда следует, что sin2 ψ = tg2 φ Теперь углы поворота вокруг осей ординат
- 44. ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Аналогичным образом могут быть рассмотрены две другие диметрические проекции, соответствующие другим возможным выборам пар
- 45. СТАНДАРТНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Тогда из условий sin2 ψ = tg2 φ и cos2 φ = 4*(sin2
- 46. СТАНДАРТНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ В случае, когда единичный вектор нормали к картинной плоскости лежит в 1-м октанте,
- 47. ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ В этом случае все три проекции единичных ортов равны между собой, что приводит к
- 48. СТАНДАРТНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ Соответствует выбору ψ = π/4 В этом случае матрица проецирования принимает вид:
- 49. КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ При косоугольном проецировании пучок проецирующих лучей не перпендикулярен картинной плоскости. Косоугольные проекции сочетают в
- 50. КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ Матрица соответствующего преобразования имеет вид:
- 51. ВИДЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ Выделяют два вида косоугольных проекций: свободную, кабинетную. В случае свободной проекции угол наклона
- 52. ВИДЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ Кабинетная проекция является частным случаем свободной проекции – масштаб по оси Z вдвое
- 53. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ Пусть центр проецирования – точка C с координатами (0, 0, c) на оси Z
- 54. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ Эта прямая пересекается с картинной плоскостью в точке с координатами x0' = c*x0/(c-z0); y0'=
- 55. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ В случае, когда центр проецирования имеет координаты (cx, cy, cz), а картинная плоскость,
- 56. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ Аналогичным образом можно получить матрицы центрального проецирования на плоскость XOZ
- 57. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ и на плоскость YOZ
- 58. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ Центральной проекцией прямой также является прямая. Пусть p(t) = p0 + Vt При
- 60. Скачать презентацию