Неравенства и предельные теоремы

Неравенства

Неравенство Маркова.
Для любой случайной величины ξ и для любого ε >

Доказательство.

Неравенство Чебышёва

Для любой случайной величины ξ и для любого ε >0

Доказательство

В неравенстве
Маркова (1)
подставим
вместо ξ
ξ –Mξ
и возьмем k=2.

Пример применения неравенства Чебышёва

Оценить вероятность того, что сл.в. отклонится от своего

Неравенства

Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.

Сходимость по вероятности

Определение. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится

Сходимость по вероятности

Обозначение:
Замечание:
«p» есть сокращение от «probability»

Пример

Последовательность случайных величин
ξ1, ξ2 ,…, ξn задана законом:

Закон больших чисел (ЗБЧ)

Определение. Говорят, что к последовательности случайных величин ξ1,

Смысл: среднее значение случайных величин стремится по вероятности к среднему их

ЗБЧ в форме Чебышёва

Теорема. Если для последовательности случайных величин {ξn} с

Доказательство основано на неравенстве Чебышёва. Надо показать, что выполняется определение сходимости

Доказательство ЗБЧ в форме Чебышёва

ЗБЧ в форме Бернулли

Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов,

Доказательство ЗБЧ в форме Бернулли

Рассмотрим случайную величину ξi, равную числу успехов

ai = Mξi = p.

Таким образом,
(*) можно записать
в виде

ξi независимы и их дисперсии ограничены одним числом
(Dξi =

ЗБЧ в форме Пуассона

Теорема. Пусть осуществляется серия из n независимых опытов,

Доказательство ЗБЧ в форме Пуассона

Рассмотрим случайную величину ξi, равную числу успехов

ЗБЧ в форме Хинчина

Теорема. Для того, чтобы к последовательности
случайных величин {ξn}

Центральная предельная теорема (ЦПТ)

В теоремах этой группы выясняются условия, при которых

Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в.

Если случайные величины

Смысл ЦПТ для н.о.р.сл.в.

Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых одинаково

ЦПТ

Теорема Ляпунова. Если случайная величина ξ представляет собой сумму большого числа

Смысл ЦПТ в форме Ляпунова

Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых

Зависимость от числа слагаемых

Практическое значение ЦПТ

Многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых