Введение в математическую статистику

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Введение в математическую статистику

Содержание

2. Математическая статистика – это раздел математики который занимается разработкой методов сбора, описания и анализа экспериментальных результатов
3. В МС предполагается, что вероятность Р в модели наблюдаемого случайного явления не известна полностью. Известно только,
4. Задача математической статистики уменьшить неопределенность модели, используя информацию полученную из наблюдаемых исходов эксперимента. Итак, о математической
5. Основные понятия Исходным материалом всякого статистического исследования является совокупность результатов наблюдений. В большинстве случаев исходные статистические
6. Основные понятия Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Х1, ..., Хn) называется выборкой, сами величины Xi
7. Пусть X = {х} – множество всех возможных значений выборки X, которое называется выборочным пространством. Статистической
8. Обычно рассматривают ситуации, когда компоненты выборки независимы и распределены так же, как некоторая случайная величина ξ
9. Таким образом, мы рассматриваем генеральную совокупность как случайную величину ξ, а выборку – как n –
10. Порядковые статистики Упорядочим выборку x = (x1, ..., xn) (реализацию) по возрастанию, получим последовательность x* =
11. Порядковые статистики Очевидно, что порядковые статистики удовлетворяют неравенствам X1*≤ X2* ≤ … ≤ Xn* X1* и
12. Способы представления выборки Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по величине,
13. Способы представления выборки Статистическим рядом называется последовательность пар (xj,nj). Здесь xj – значения, а nj –
14. Группированный статистический ряд
15. Эмпирическая функция распределения Пусть Х=(X1, ..., Хn) – выборка из генеральной совокупности наблюдаемой случайной величины. Эмпирической
16. Пример Выборка: X = {1, 2, 2, 3}
17. Эмпирическая функция распределения выборки совпадает с функцией распределения дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения: Важно!
18. Почему это важно: Это означает, что выборку можно рассматривать как дискретную случайную величину, и применять к
19. Еще один пример
20. График
21. Общая запись эмпирической функции распределения
22. Замечание По эмпирической функции распределения легко построить другие способы представления выборки, например, статистический или вариационный ряд.
23. Пример
24. Этой эмпирической функции распределения Fn(x) соответствует выборка, заданная статистическим рядом: Пример
25. Задача. Дана Fn(x) из предыдущего примера. Сколько в выборке значений: а) равных 15, б) не больших
26. Свойства эмпирической функции распределения Эмпирическая функция распределения – сжатая характеристика выборки. Для каждой реализации х =
27. Свойства эмпирической функции распределения Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Х из распределения
28. Теорема 1 Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Х из распределения ξ, и
29. Теорема 2 (теорема Колмогорова) Если функция F(x) непрерывна, то при любом фиксированном t > 0 где
30. Теорема Колмогорова Теорема справедлива для любой непрерывной функции и позволяет найти границы, в которых с заданной
31. Частота элемента выборки При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы, представляя результаты опытов в
32. Группированный статистический ряд Вспомним вид этого ряда. Чтобы его построить, надо найти число интервалов k и
33. Группировка выборки Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки R. Число интервалов k
34. Пример. Неупорядоченная выборка
35. Упорядоченная выборка
36. Нахождение числа интервалов k и длины интервала h
37. Таблица частот группированной выборки
38. Группированная выборка
39. Графические характеристики выборки Если на каждом интервале построить прямоугольник с высотой ni/h, получим гистограмму. Кривая, соединяющая
40. Замечание Если по оси ординат откладываются высоты ni/h, то площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна
41. Задача По выборке объема n = 100 построена гистограмма частот. Чему равно значение а? Решение. Площадь
42. Смысл гистограммы и полигона При увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки гистограмма относительных частот является
45. Замечание Для лучшего приближения плотности столбики гистограммы рекомендуется строить без пробелов. Гистограмма Полигон
46. Гистограмма и плотность
47. Кумулята Кумулята относительных частот – это ломаная, соединяющая точки с координатами (xi, ni*/n). Кумулята частот соединяет
49. Скачать презентацию

Слайд 2

Математическая статистика – это раздел математики который занимается разработкой методов сбора,

описания и анализа экспериментальных результатов наблюдений, массовых случайных явлений.
Фундаментальными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.
Математическая статистика базируется на понятиях и методах теории вероятностей, но решает в каком –то смысле обратные задачи. Как и всякая математическая теория, она развивается в рамках некоторых моделей, описывающих определенный круг явлений.

Основные понятия

Слайд 3

В МС предполагается, что вероятность Р в модели наблюдаемого случайного явления

не известна полностью. Известно только, что Р из некоторого заданного класса вероятностей P. Способы задания класса вероятностей P могут быть различными.
Если задан класс допустимых распределений P, то говорят, что задана статистическая модель.
Т.о., статистическая модель описывает такие ситуации, когда в вероятностной модели изучаемого эксперимента имеется неопределенность в задании вероятности Р.

Основные понятия

Слайд 4

Задача математической статистики уменьшить неопределенность модели, используя информацию полученную из наблюдаемых

исходов эксперимента.
Итак, о математической статистике имеет смысл вспоминать, если
имеется случайный эксперимент, свойства которого частично или полностью неизвестны,
мы умеем воспроизводить этот эксперимент в одних и тех же условиях некоторое (а лучше — какое угодно) число раз.

Основные понятия

Слайд 5

Основные понятия
Исходным материалом всякого статистического исследования является совокупность результатов наблюдений.
В

большинстве случаев исходные статистические данные Х = (Х1,...,Хn) – результат наблюдения некоторой конечной совокупности случайных величин, характеризующий исход изучаемого эксперимента.
Предполагается, что эксперимент состоит в проведении n испытаний и результат i –го эксперимента описывается случайной величиной Xi , i =1,..., n.

Слайд 6

Основные понятия
Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Х1, ..., Хn)

называется выборкой, сами величины Xi , i =1,..., n, – элементами выборки, а их число n – ее объемом.
Реализации выборки Х будем обозначать строчными буквами х = (x1,..., xn).

Слайд 7

Пусть X = {х} – множество всех возможных значений выборки X,

которое называется выборочным пространством.
Статистической моделью называется класс распределений, допустимых для выборки.

Основные понятия

Слайд 8

Обычно рассматривают ситуации, когда компоненты выборки независимы и распределены так же,

как некоторая случайная величина ξ с функцией распределения Fξ(x).
Множество возможных значений ξ с распределением F = Fξ(x) называется генеральной совокупностью, из которой производят случайную выборку.

Основные понятия

Слайд 9

Таким образом, мы рассматриваем генеральную совокупность как случайную величину ξ, а

выборку – как n – мерную случайную величину
(ξ1, …, ξn), компоненты которой независимы и одинаково распределены (так же, как ξ).
Такие выборки называются простыми.

Важно!

Слайд 10

Порядковые статистики
Упорядочим выборку x = (x1, ..., xn) (реализацию) по возрастанию,

получим последовательность x* = (x1*, x2*, ..., xn *), где
x1*≤ x2*... ≤ xn *.
Пример. x = (2, 1, 4, 2, 3). x* = (1, 2, 2, 3, 4).
Если теперь через Xk* обозначить случайную величину, которая для каждой реализации принимает значение xk* , k =1, …, n, (k-е по величине), то Xk* называется k - ой порядковой статистикой выборки.

Слайд 11

Порядковые статистики
Очевидно, что порядковые статистики удовлетворяют неравенствам
X1≤ X2 ≤ …

≤ Xn*
X1* и Xn* называются экстремальными значениями выборки.
X1* = Xmin, Xn* = Xmax.
Последовательность X1*, X2*, …, Xn* называют вариационным рядом.

Слайд 12

Способы представления выборки

Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при котором

элементы упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде упорядоченной последовательности.
Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки.

Слайд 13

Способы представления выборки
Статистическим рядом называется последовательность пар (xj,nj).
Здесь xj –

значения, а nj – частота элемента выборки

Слайд 14

Группированный статистический ряд

Слайд 15

Эмпирическая функция распределения
Пусть Х=(X1, ..., Хn) – выборка из генеральной совокупности

наблюдаемой случайной величины.
Эмпирической функцией распределения называется случайная функция от Fn(x), вычисляемая по формуле
где νn – число элементов выборки Х, значения которых меньше х.

Слайд 16

Пример
Выборка: X = {1, 2, 2, 3}

Слайд 17

Эмпирическая функция распределения выборки совпадает с функцией распределения дискретной случайной величины

X, заданной рядом распределения:

Важно!

Слайд 18

Почему это важно:
Это означает, что выборку можно рассматривать как дискретную случайную

величину, и применять к ней то, что мы уже знаем о случайных величинах.

Слайд 19

Еще один пример

Слайд 20

График

Слайд 21

Общая запись эмпирической функции распределения

Слайд 22

Замечание
По эмпирической функции распределения легко построить другие способы представления выборки, например,

статистический или вариационный ряд.

Слайд 23

Пример

Слайд 24

Этой эмпирической функции распределения Fn(x) соответствует выборка, заданная статистическим рядом:
Пример

Слайд 25

Задача. Дана Fn(x) из предыдущего примера. Сколько в выборке значений:
а) равных

15,
б) не больших 11?
Решение.
а) 1 значение равно 15,
б) 8 значений не больше 11.

Пример

Слайд 26

Свойства эмпирической функции распределения
Эмпирическая функция распределения – сжатая характеристика выборки. Для

каждой реализации х = (x1,... ,xn) функция однозначно определена и обладает всеми свойствами функции распределения:
изменяется от 0 до 1;
не убывает;
непрерывна слева;
Fn(x)=0 при х < х* и Fn(x) =1 при х > х*,
она кусочно –постоянна и возрастает только в точках последовательности.

Слайд 27

Свойства эмпирической функции распределения
Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по

выборке Х из распределения ξ, и Fξ(x) – соответствующая теоретическая функция.
Тогда:

Слайд 28

Теорема 1
Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке

Х из распределения ξ, и Fξ(x) – соответствующая теоретическая функция распределения. Тогда для любого – ∞ < х < + ∞ и любого ε > 0

Слайд 29

Теорема 2 (теорема Колмогорова)
Если функция F(x) непрерывна, то при любом

фиксированном t > 0
где
функция Колмогорова (хорошее приближение при ≥ 20).

Слайд 30

Теорема Колмогорова
Теорема справедлива для любой непрерывной функции и позволяет найти границы,

в которых с заданной вероятностью 0<α<1 находится теоретическая функция F(x). Если задана вероятность α, то при больших п с вероятностью, близкой к α F(x) удовлетворяет неравенству
где величина вычисляется как корень уравнения .

Слайд 31

Частота элемента выборки
При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы,

представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда.
Для этого интервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на k непересекающихся интервалов. Вычисления значительно упрощаются, если эти интервалы имеют одинаковую длину h. Результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей частот группированной выборки.

Группировка выборки

Слайд 32

Группированный статистический ряд
Вспомним вид этого ряда. Чтобы его построить, надо найти

число интервалов k и ширину интервала h.

Слайд 33

Группировка выборки
Разность между максимальным и
минимальным элементами выборки
называется размахом выборки R.
Число интервалов

k находится из условия
2k –1 ≈ n,
где n – объем выборки.
Длину интервала h находят по формуле
h = R/k.
Все интервалы имеют одинаковую длину.

Слайд 34

Пример. Неупорядоченная выборка

Слайд 35

Упорядоченная выборка

Слайд 36

Нахождение числа интервалов k и длины интервала h

Слайд 37

Таблица частот группированной выборки

Слайд 38

Группированная выборка

Слайд 39

Графические характеристики выборки
Если на каждом интервале построить прямоугольник с высотой

ni/h, получим гистограмму.
Кривая, соединяющая середины верхних оснований гистограммы, называется полигоном (частот). Полигон — непрерывная функция (ломаная).

Слайд 40

Замечание
Если по оси ординат откладываются высоты ni/h, то площадь ступенчатой фигуры

под графиком гистограммы равна объему выборки n. В этом случае мы имеем гистограмму частот.
Если по оси ординат откладываются высоты ni/nh, то получаем гистограмму относительных частот. Площадь соответствующей ступенчатой фигуры для нее равна единице.

Слайд 41

Задача
По выборке объема n = 100 построена гистограмма частот. Чему равно

значение а?
Решение. Площадь S = n = 100.
S = 2(4 + 12 + a + 18) = 2(34 + a) = 100, отсюда
a = 16.

Слайд 42

Смысл гистограммы и полигона
При увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки

гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения генеральной совокупности.
Т.о., они дают представление о графике плотности.

Слайд 43

Слайд 44

Слайд 45

Замечание
Для лучшего приближения плотности столбики гистограммы рекомендуется строить без пробелов.
Гистограмма
Полигон

Слайд 46

Гистограмма и плотность

Слайд 47

Кумулята
Кумулята относительных частот – это ломаная, соединяющая точки с координатами (xi,

ni*/n). Кумулята частот соединяет точки с координатами (xi, ni*).
Напомним, что ni* – это накопленная сумма частот, ni* = n1+ n2 +…+ni
Кумулята дает представление о графике функции распределения.

Введение в математическую статистику

Содержание

Математическая статистика – это раздел математики который занимается разработкой методов сбора,

В МС предполагается, что вероятность Р в модели наблюдаемого случайного явления

Задача математической статистики уменьшить неопределенность модели, используя информацию полученную из наблюдаемых

Основные понятия Исходным материалом всякого статистического исследования является совокупность результатов наблюдений. В

Основные понятия Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Х1, ..., Хn)

Пусть X = {х} – множество всех возможных значений выборки X,

Обычно рассматривают ситуации, когда компоненты выборки независимы и распределены так же,

Таким образом, мы рассматриваем генеральную совокупность как случайную величину ξ, а

Порядковые статистики Упорядочим выборку x = (x1, ..., xn) (реализацию) по возрастанию,

Порядковые статистикиОчевидно, что порядковые статистики удовлетворяют неравенствам X1*≤ X2* ≤ …

Способы представления выборки Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при котором

Способы представления выборкиСтатистическим рядом называется последовательность пар (xj,nj). Здесь xj –

Группированный статистический ряд

Эмпирическая функция распределенияПусть Х=(X1, ..., Хn) – выборка из генеральной совокупности

ПримерВыборка: X = {1, 2, 2, 3}

Эмпирическая функция распределения выборки совпадает с функцией распределения дискретной случайной величины

Почему это важно:Это означает, что выборку можно рассматривать как дискретную случайную

Еще один пример

График

Общая запись эмпирической функции распределения

ЗамечаниеПо эмпирической функции распределения легко построить другие способы представления выборки, например,

Пример

Этой эмпирической функции распределения Fn(x) соответствует выборка, заданная статистическим рядом: Пример

Задача. Дана Fn(x) из предыдущего примера. Сколько в выборке значений:а) равных

Свойства эмпирической функции распределенияЭмпирическая функция распределения – сжатая характеристика выборки. Для

Свойства эмпирической функции распределенияПусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по

Теорема 1 Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке

Теорема 2 (теорема Колмогорова) Если функция F(x) непрерывна, то при любом

Теорема Колмогорова Теорема справедлива для любой непрерывной функции и позволяет найти границы,

Частота элемента выборки При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы,

Группированный статистический ряд Вспомним вид этого ряда. Чтобы его построить, надо найти

Группировка выборкиРазность между максимальным иминимальным элементами выборкиназывается размахом выборки R.Число интервалов

Пример. Неупорядоченная выборка

Упорядоченная выборка

Нахождение числа интервалов k и длины интервала h

Таблица частот группированной выборки

Группированная выборка

Графические характеристики выборки Если на каждом интервале построить прямоугольник с высотой

ЗамечаниеЕсли по оси ординат откладываются высоты ni/h, то площадь ступенчатой фигуры

ЗадачаПо выборке объема n = 100 построена гистограмма частот. Чему равно

Смысл гистограммы и полигонаПри увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки

ЗамечаниеДля лучшего приближения плотности столбики гистограммы рекомендуется строить без пробелов.ГистограммаПолигон

Гистограмма и плотность

КумулятаКумулята относительных частот – это ломаная, соединяющая точки с координатами (xi,

Похожие презентации

Основные понятия
Исходным материалом всякого статистического исследования является совокупность результатов наблюдений.
В

Основные понятия
Совокупность наблюдаемых случайных величин Х = (Х1, ..., Хn)

Порядковые статистики
Упорядочим выборку x = (x1, ..., xn) (реализацию) по возрастанию,

Порядковые статистики
Очевидно, что порядковые статистики удовлетворяют неравенствам
X1≤ X2 ≤ …

Способы представления выборки

Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при котором

Способы представления выборки
Статистическим рядом называется последовательность пар (xj,nj).
Здесь xj –

Эмпирическая функция распределения
Пусть Х=(X1, ..., Хn) – выборка из генеральной совокупности

Пример
Выборка: X = {1, 2, 2, 3}

Почему это важно:
Это означает, что выборку можно рассматривать как дискретную случайную

Замечание
По эмпирической функции распределения легко построить другие способы представления выборки, например,

Этой эмпирической функции распределения Fn(x) соответствует выборка, заданная статистическим рядом:
Пример

Задача. Дана Fn(x) из предыдущего примера. Сколько в выборке значений:
а) равных

Свойства эмпирической функции распределения
Эмпирическая функция распределения – сжатая характеристика выборки. Для

Свойства эмпирической функции распределения
Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по

Теорема 1
Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке

Теорема 2 (теорема Колмогорова)
Если функция F(x) непрерывна, то при любом

Теорема Колмогорова
Теорема справедлива для любой непрерывной функции и позволяет найти границы,

Частота элемента выборки
При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы,

Группированный статистический ряд
Вспомним вид этого ряда. Чтобы его построить, надо найти

Группировка выборки
Разность между максимальным и
минимальным элементами выборки
называется размахом выборки R.
Число интервалов

Графические характеристики выборки
Если на каждом интервале построить прямоугольник с высотой

Замечание
Если по оси ординат откладываются высоты ni/h, то площадь ступенчатой фигуры

Задача
По выборке объема n = 100 построена гистограмма частот. Чему равно

Смысл гистограммы и полигона
При увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки

Замечание
Для лучшего приближения плотности столбики гистограммы рекомендуется строить без пробелов.
Гистограмма
Полигон

Кумулята
Кумулята относительных частот – это ломаная, соединяющая точки с координатами (xi,