Плоскости. Ортогональные проекции плоскости

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ

ПЛОСКОСТЬ – МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОДНУ

Y

Z

X

aп1

aП3

aП2

ax

ay

az

Следы плоскости – линии пересечения данной плоскости a с плоскостями проекций.

a

a-плоскость;
aп1

Графические способы задания плоскости

X

Z

Y

А2

А1

В1

C2

C1

В2

X

Y

А2

А1

В1

C2

C1

В2

1.Три точки не принадлежащие одной прямой

2. Прямая

X

Z

Y

а2

а1

b2

b1

X

Z

Y

a2

a1

b2

b1

3. Параллельные прямые

4. Пересекающиеся прямые

К1

К2

X

Z

Y

А2

А1

В1

C2

C1

В2

5. Плоская фигура

6. Задание плоскости следами

Z

X

Y

Y

aП2

aп1

aП3

ax

ay

az

Z

X

aп1

aП3

aП2

ax

ay

az

a

ay

Y

X

А2

А1

В1

C2

C1

В2

А2

А1

C2

C1

В2

1.Три точки не принадлежащие
одной прямой

2. Прямая и точка вне
этой

ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Относительно плоскостей проекций плоскости разделяют на:
плоскости общего

ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни

Плоскости уровня

Горизонтальная плоскость уровня параллельна горизонтальной плоскости проекций.

Z

х

Y

Y

ГП2

ГП3

Гz

Y

Z

X

aП3

aП2

az

a

Плоскость αIIП1

А1

В1

В2

С1

С2

А2

о

Z

X

Y

Y

Dп1

DП3

Dy

Y

Z

X

bп1

bП3

by

Dy

Фронтальная плоскость уровня параллельна фронтальной плоскости проекций.

А1

В1

С1

С2

В2

А2

bП2

Плоскость β I| П2

Z

X

Y

Y

QП2

Qп1

Qx

Y

Z

X

gп1

gП2

gx

g

Профильная плоскость уровня параллельна профильной плоскости проекций.

Плоскость γIIП3

А1

В1

С1

С3

В3

А3

С2

В2

А2

о

Проецирующие плоскости

Горизонтально проецирующая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

X

Y

Y

SП2

SП3

Z

X

aп1

aП2

ax

Sx

Z

Sп1

aП3

a

Y

ay

ψ

Sy

Sy

А1

В1

С1

А2

В2

С2

Плоскость Δ⊥П1

Фронтально проецирующая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций.

Z

X

Y

Y

DП2

Dп1

Dx

Y

Z

X

aП2

az

a

aП3

aП1

DП3

Dz

ax

А2

В2

С2

А1

В1

С1

ϕ

Плоскость α ⊥П2

Профильно проецирующая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций.

Z

X

Y

Y

QП2

Qп1

Y

Z

X

aп1

aП2

aП3

a

QП3

az

ay

Qz

Qy

Qy

А3

В3

ϕ

ψ

Плоскость α ⊥П3

С3

А1

В1

С1

А2

В2

С2

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
ПЛОСКОСТИ

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой

ОСОБЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ – линии параллельные плоскостям проекций и

Z

X

aп1

aП3

aП2

ax

ay

az

a

ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ
Горизонталь плоскости

Y

Линия h параллель-на горизонтальной плос-кости проекций и

Линия h параллельна горизонтальной пло-скости проекций и принадлежит данной плоскости

Линия h параллельна горизонтальной плоскос-ти проекций и принад-лежит данной плоскости

А2

F2

В2

С2

В1

С1

А1

F1

Фронталь плоскости

Линия f параллельна фронтальной плоскости проекций и принадлежит данной плоскости

Линия f параллельна фронтальной плоскос-ти проекций и при-надлежит данной плос-кости

Профильная прямая плоскости

aп2

aП1

Y

Z

ax

С2

С1

р3

X

aп3

С3

р2

р1

Линия р параллельна профильной плоскости проекций и принадлежит данной

Поверхности

ПОВЕРХНОСТИ

ПОВЕРХНОСТЬ - МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ЛИНИИ ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАКОНУ

ЛИНИЯ

Направляющая

Образующая

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

АНАЛИТИЧЕСКИЙ –
X2 + Y2 + Z2 =1
2.

П1

Очерк поверхности

Огибающая цилиндрическая поверхность

Поверхность

ОЧЕРК ПОВЕРХНОСТИ СЛЕД НА ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ

ТОЧЕЧНЫЙ КАРКАС- множество точек принадлежащих поверхности.

В этом случае поверхность аппроксимируется

ЛИНЕЙЧАТЫЙ КАРКАС – это множество линий, заполняющих поверхность так, что через

Ф(L,k)(A)

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ

L

k

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ- СОВОКУПНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЬ И ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ОПИСЫВАЮЩАЯ

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Гранные поверхности

Призма - образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей.
Образующие

Гранные поверхности

Пирамида – образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей.
Все

ПРОСТЕЙШИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

m - ОБРАЗУЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТИ
I - ОСЬ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Самая маленькая

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ

i – ось вращения
2. L – прямолинейная образующая
Определитель поверхности

ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ

1. i – ось вращения
2. L – прямолинейная образующая
3.

I – ось вращения
m – криволинейная образующая (окружность)
Определитель поверхности Ф(m, i)

i – ось вращения
m – образующая (окружность)
Определитель
поверхности
Ф(m, i)

ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЗАКРЫТЫЙ ТОР

1. i – ось вращения
2. m – образующая

ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ САМОПЕРЕСЕКАЮЩИЙСЯ ТОР (тор - бочка)

R1

r2

i2

m2

m1

i1

1. i – ось вращения
2.

Определение положения точек на поверхности тел

Поверхность считается заданной на чертеже, если можно построить любую точку, ей

Определение проекций точек на поверхности многогранника

Точки на гранях проецируются на очерк

Определение проекций точек на поверхности цилиндра

А1

А2

(В2)

(В1)

С2

С1

Определение проекций точек на поверхности конуса

А2

11

12

А1

(В2)

αП2

В1

R

Определение проекций точек на поверхности сферы

А2

αП2

R

A1

(В2)

βП2

R

(В1)

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ ПОЛУЧАЕТСЯ ЛИНИЯ, ВСЕ ТОЧКИ КОТОРОЙ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то фигура

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Линия пересечения может быть:
1. ломаная - при пересечении плоскости

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ

1. abi – окружность
2. b^ i – эллипс
3. g

1. abi – окружность
2. b^ i – эллипс
3. g – треугольник
g

4. m – гипербола
m ll I
5.h – парабола
h ll

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ

Определение секущей заданной плоскости.
2. Определить характерные точки:
• точки, расположенные на

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ

3. Через выбранные точки провести вспомогательные секущие плоскости параллельно плоскостям

СЕЧЕНИЕ ПРИЗМЫ
четырехугольник (ромб)

СЕЧЕНИЕ ПРИЗМЫ ПЛОСКОСТЬЮ Определение натуральной величины сечения

bп2

12

121

11

1

2

211

221

21

22

21

32

3

31

311

312

31

411

42

41

412

41

4

51

5

521

52

СЕЧЕНИЕ
цилиндра
эллипс

СЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ Определение натуральной величины сечения

bп2

12

121

11

1

2

211

221

21

22

21

32

3

31

311

312

31

411

42

41

412

41

4

51

5

521

52

Сечение сферы плоскостью – окружность, которая может проецироваться как:
прямая

Контрольное задание

Определить натуральную величину сечения конуса плоскостью.

А2

11

12

А1

В2

αП2

В1

R

11'

βп2

Радиус основания конуса =

Домашнее задание
Определить натуральную величину сечения поверхности

Контрольные вопросы

Построить точку А(35,10,25).
Построить точку В(35,10,25).
Построить следы отрезка прямой АВ.

Контрольное задание

А2

F2

В2

С2

В1

С1

А1

F1

X

Построить горизонталь плоскости треугольника АВС

Домашнее задание Построить линию пересечения поверхностей. Определить натуральную величину сечения. Формат А3.