Содержание
- 2. В работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? Для
- 3. В 9 классе мы изучаем прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму
- 4. Проблемный вопрос: Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?
- 5. Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии. Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий
- 6. Гипотеза исследования: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень
- 7. Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
- 9. ПоПо По страницам школьных учебников Последовательности: путешествие в глубь веков Прогрессии в природе Прогрессии в банковских
- 10. Задачи с практическим содержанием из современных учебников по алгебре Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных
- 11. Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего
- 12. Вывод характеристических свойств арифметической и геометрической прогрессий an-an-1=d; an+1-an=d; an-an-1=an+1-an 2an=an+1+an-1 bn:bn-1=d; bn+1:bn=d; bn:bn-1=bn+1:bn bn2=bn+1·bn-1
- 13. Формулы Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
- 14. Информационная модель (схема) сравнения арифметической и геометрической прогрессий Установите «родство» прогрессий a1, a2, a3, . .
- 15. Сравнение арифметической и геометрической прогрессий an+1=an+d bn+1=bn ·q an=а1+d (n-1) bn = b1qn-1 d = an
- 16. Определения (оба сразу!) Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с
- 17. “Родство” прогрессий становится еще более заметным, если сравнить их характеристические свойства. Здесь тоже достаточно заменить сложение
- 18. Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий (оба сразу!) Любой член арифметической прогрессии, геометрической начиная со второго,
- 19. Имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?
- 20. Задача № 468 [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г.,
- 21. Задача №469. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов
- 22. Решение. Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 ап=а1+d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, Sп=((a1+aп)n)/2,
- 23. Задача №470 [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов
- 24. Задача № 471 [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В.
- 25. Задача № 472 [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г.,
- 26. Задача № 614. [Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений/ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова
- 27. Задача № 614. [Алгебра. 9 класс,: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б.
- 28. Задача. При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в
- 29. Задача Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при
- 30. Решение.
- 31. Если d=6, то а1=3, а2=9,а3=15. Если d=-10, то а1=19, а2=9,а3=-1. Тогда, если арифметическая прогрессия 3, 9,
- 32. 1. Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей. Цены
- 33. Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач
- 34. Последовательности: путешествие в глубь веков
- 35. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте
- 36. Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст
- 37. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры,
- 38. Как Архимед вычислял площадь круга… Вначале Архимед вписывал в круг шестиугольник, затем на каждой стороне построил
- 39. В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым
- 40. В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь: 1, 2,
- 41. Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении “Квадратура параболы”, сводится к суммированию бесконечно убывающей геометрической
- 42. Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя
- 43. Пифагор и последовательности Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с
- 44. В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было
- 45. Зададим эту последовательностей формулой п-ого члена. Последовательность (ап) треугольных чисел получается из последовательности натуральных чисел 1,
- 46. Последовательность (bп) квадратных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, ... ,
- 47. Последовательность (cп) пятиугольных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел 1, 4, 7, ... ,
- 48. У европейцев правило для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессии встречается впервые в сочинении Леонардо Пизанского
- 49. "Книге абака" представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и
- 50. Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой
- 51. Задача Фибоначчи : Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы
- 52. Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему
- 53. Чтобы ответить на вопрос задачи, воспользуемся следующей схемой. Кружочек — это пара кроликов. Стрелка, направленная вниз,
- 54. «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Ряд чисел 0, 1, 1, 2,
- 55. Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n- м месяце через Uk , то
- 56. Числа un, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
- 57. Определение последовательности Фибоначчи Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
- 58. Простейшие свойства последовательности 1.Сумма первых n-чисел Фибоначчи: u1+u2+…+un=un+2 -1. 2.Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами: u1+u3+u5+…+u2n-1=u2n.
- 59. 5. 6. 7. 8. 9. 10. В ряду Фибоначчи каждое третье число – чётное, каждое четвёртое
- 60. Следствия свойства 11: 1)Пусть в формуле (*) m=n u2n=un-1un +unu n+1 или u2n=un(un-1+un+1) так как un=un+1-un-1u2n
- 61. Интересно было бы уметь сразу получить любой член ряда , зная лишь номер n его места.
- 62. Золотое сечение и Фибоначчи Отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 :
- 63. Сведения из истории Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том,
- 64. Сведения из истории В сочинении Евклида «Начала» (около 300 лет до н.э.) в словесной форме содержится
- 65. В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100,
- 66. Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была выведена в первой половине XVII
- 67. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. В печати же эти мысли отчетливо прозвучали
- 68. -В верхней строчке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней строчке – геометрическая прогрессия со
- 69. Пример №1. Надо умножить 1/2 на 128. Обращаем внимание, что в таблице над 1/2 написано -1,
- 70. Пример №2. Разделим 32 на 8. Обращаем внимание, что в таблице над 32 написано 5, а
- 71. Если вспомнить тождества an·am=an+m и am:an=am-n, то нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:
- 72. Теперь можно увидеть, что, если показатели степени составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию.
- 73. В начале XIII века в городе Пизе (Италия) жил большой знаток всевозможных соотношений между числами и
- 74. Одна из задач, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о поиске наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных
- 75. Сущность "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить
- 76. Еще одна задача интересна в исторической связи и носит имя "задачи о семи старухах". Старухи направляются
- 77. Общее число всего перечисленного 7+49+343+2401+16807+117649=137256 1 7 6 5 4 3 2 У каждой старухи 7
- 78. Другой способ решения задачи 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 –это геометрическая прогрессия, первый член b1=
- 79. Шли семь старцев У каждого старца по семь костылей; На каждом костыле по семь сучков; На
- 80. Искусство Леонардо в решении числовых задач изумляло всех. Высокая репутация Фибоначчи привлекла однажды (в 1225 г.)
- 81. В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному
- 82. Прогрессии в природе
- 83. ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения? Все
- 84. РЕШЕНИЕ b15 = 2·214 = 32 768 Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии
- 85. Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою
- 86. Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин,
- 87. Задача №524. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов
- 88. Всего бактерий 4 септиллиона 722 сектиллиона 366 квинтиллионов 482 квадриллионов 869 триллиона 645 миллиарда 709 миллионов
- 89. Интенсивность размножения бактерий используют… в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и
- 90. “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Карл Линней Девятое поколение одной пары
- 91. “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.
- 92. ЗАДАЧА Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около
- 93. ОТВЕТ Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около
- 94. ТЛИ… Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, дна единственная тля
- 95. ВОРОБЬИ Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь
- 96. Еще две биологические задачи При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после
- 97. ПЛОДОВИТОСТЬ РЫБ
- 98. Положение некоторых видов на кривой вероятности попадания в Красную книгу, построенной на основе годовой плодовитости. Зубр,
- 99. Прогрессии в банковских расчетах, в промышленности, в разных отраслях науки, в сельском хозяйстве
- 100. Прогрессии и банковские расчеты Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р.
- 101. Прогрессии и банковские расчеты Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада,
- 102. Прогрессии и банковские расчеты Рассмотрим конкретный пример. Пусть вклад составляв 10 000 р., банк дает 10%
- 103. Директоры двух заводов А и В встретились на совещании. Из их беседы выяснилось, что оба завода
- 104. Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после совещания его завод выпустил на
- 105. Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он выпустил на 40% больше, чем
- 106. Заметим, что коэффициент увеличения здесь равен 7/5 , так как выпуск каждого года составляет 140% предыдущего
- 107. Представим на графике продукцию того и другого завода
- 108. Как сосчитать количество бревен? Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого
- 109. Еще две технические задачи После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в
- 110. В каких процессах ещё встречаются такие закономерности? Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя
- 111. Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия. Денежные вклады под проценты — это
- 112. Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике
- 113. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя
- 114. Яблоки Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся
- 115. Решение. Пусть у садовника было х яблок.
- 116. Составим уравнение: - геометрическая прогрессия, где , n = 7, . Уравнение примет следующий вид: x=127
- 117. В «Сборнике алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз, 1949) было
- 118. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек,
- 119. Некто, будучи должен 720 руб., обязался уплачивать этот долг по частям, выдавая каждый месяц 10-ю рублями
- 120. Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит
- 121. Числа градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах некоторого многоугольника, составляют прогрессию, разность которой 10; наименьший угол
- 122. Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 16,1 фута, а в каждую следующую на
- 123. Задачи на применение прогрессий встречаются в книгах по занимательной математике
- 124. Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел
- 125. Действительно, чтобы выполнить эту просьбу, потребовалось бы количество зерен, равное сумме 1 + 2 + 22
- 126. Столько зёрен должен был получить изобретатель шахмат: S64=264-1= =18446744073704551615
- 127. Всего зерен 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709 миллионов 551 тысяча 615
- 128. S 64 = 264 - 1 = 1,84 · 1019 - стандартный вид данного числа
- 129. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был
- 130. Считают “мужик” и “купец” “Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).
- 131. О поселковых слухах: Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух
- 132. Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям.
- 133. Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу сумму n первых членов геометрической прогрессии. В данном случае:
- 134. Задачи на прогрессии есть и в книгах Я.И. Перельмана
- 135. Прогрессии в литературе: строки из “Евгения Онегина”. «…Не мог он ямба от хорея Как мы не
- 136. О финансовых пирамидах: Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит,
- 137. Выводы. Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто
- 139. Скачать презентацию