Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Схема Неймана-Рихтмайера – «крест

разностных схем;
2) обоснование выбранной разностной схемы.

Большинство задач являются нелинейными, а теория разностных методов развита в основном для линейных задач

В газовой динамике мы имеем дело, вообще говоря, с
разрывными решениями интегро-дифференциальных
уравнений.

Понятие сходимости разностной схемы существенно
зависит от класса решений законов сохранения.
Норма близости двух обобщенных (разрывных) решений
является слабой (норма пространства )

.

, в которой рассматривается движение, разбивается сильными и слабыми разрывами на отдельные области гладкого течения, в которых удовлетворяются уравнения газовой динамики.
На самих разрывах удовлетворяются условия совместности.
Обобщенное решение есть совокупность гладких решений, определяемых в областях и примыкающих друг к другу через линии разрывов с соблюдением условий совместности.
Наиболее известным разностным методом, соответствующим этому способу описания, является метод характеристик.

или
лагранжевых координатах.
Описание является единообразным, поскольку уравнения
газовой динамики и условия совместности - следствия
законов сохранения.
Разностные схемы, получаются на основе единообразной аппроксимации законов сохранения независимо от характера течения и поэтому носят название однородных схем или схем сквозного счета.

квазилинейных параболических уравнений с малыми параметрами при старших производных.
Пусть

(3.1)

исходная система уравнений газовой динамики, записанная
в виде законов сохранения. Тогда соответствующая ей
параболическая система имеет вид:

(3.2)

- квадратная матрица, - малый параметр.
Матрица подбирается таким образом, чтобы решение
системы (3.2) обладало достаточной гладкостью и при
приближалось к решению системы (3.1).

их для случая одномерного течения с различного рода симметрией, т.е. для декартовой, цилиндрической и сферической систем координат .

В эйлеровых координатах они имеют вид:

(3.5)

(3.4)

(3.3)

них псевдовязкости являются схемы Лакса, Лакса-Вендроффа, С.К. Годунова.

Характерной чертой прямой аппроксимации интегральных законов сохранения является свойство консервативности или дивергентности получающихся разностных схем.

Оно означает, что уравнения разностной схемы могут быть интерпретированы как интегральные законы сохранения (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) записанные для ячейки сетки, образованной пересечением прямых
с прямыми при некоторой

аппроксимации (или интерполяции) величин, входящих в законы сохранения на границах ячейки.

на границах ячейки.
Если при этом разностная схема сходится, т.е. семейство разностных решений имеет предел:

и этот предел удовлетворяет именно нужным законам
сохранения (3.3)-(3.5), а не каким-либо другим.

уравнений параболического типа:

(3.10)

в которой «вязкость» - см. правую часть (3.10) - входит консервативным или дивергентным образом, как производная от выражения

решение имеет предел ,
то этот предел удовлетворяет законам сохранения:

То есть, является обобщенным решением системы уравнений

(3.11)

(3.12)

уравнениях (3.3)-(3.5) или (3.6)-(3.8) величиной :

(3.13)

На внутренних (контактных) границах это условие вытекает из требования непрерывности векторов потока импульса и энергии:

(3.14)

ширины ударного перехода в лагранжевых переменных получается выражение:

(3.15)

(3.16)

где

где - скачок скорости на ударной волне.
Для реальных газов коэффициент вязкости довольно мал,
порядка длины свободного пробега молекулы газа, поэтому обычно полагают вязкость линейной:

нелинейную вязкость:

(3.17)

Исследования показали, что ширина ударного перехода для вязкости (3.17) равна: .
Она имеет порядок и не зависит от силы ударной волны.
Вязкий член имеет в гладкой части течения порядок и, следовательно, не влияет сильно на точность расчета.

как в области ударной волны градиенты всегда велики, то разрыв производных приводит к постоянному источнику возмущений, вызывающих сильные осцилляции гидродинамических величин в
окрестности фронта ударной волны. Ее примерный вид следующий:

вязкостью.

систему можно представить в виде:

(3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21)

достижения точности второго порядка и во избежание нежелательной интерполяции, все расчитываемые термодинамические величины: , ,
и скорость разнесли по разным точкам сетки – полуцелым и целым соответственно.
Третье уравнение системы (для энергии) они использовали в недивергентном виде:

(3.20A)

Разностная схема «крест» имеет вид:

(3.26) принимают вид:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

случае идеального газа формула (3.24) допускает явное разрешение относительно . Если аппроксимировать не уравнение: (3.20 А)

а закон сохранения энергии в интегральном виде (3.8), т.е.
то в расчетах потребуется интерполировать скорость (плохо!).

выполняется неравенство:

в то время как для волн разрежения выполняется прямо противоположное условие:

то связи с этим Лэттер предложил следующее выражение для вязкого члена:

(3.32)

вязкость

Схемы (3.29) - (3.30) с условием для вязкости следующего вида:
где - а скорость звука исследовались А.А. Самарским и В.Я. Арсениным.

весами.
В случае лагранжевых переменных она имеет вид:

консервативной.

Чтобы уравнение (3.36) в сочетании с (3.33) – (3.35) было эквивалентно аппроксимации на ячейке разностной схемы интегрального закона сохранения энергии необходимо, чтобы

этого класса имеют порядок аппроксимации