Системы линейных ударений

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

Совокупность значений неизвестных
где i =1, 2, …, n,

Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной.
Система, не имеющая

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений
Система трех уравнений может быть решена по

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных
Назовем его определителем системы. Если

Далее составим три вспомогательных определителя:
, ,

Решение системы (10) находим по формулам:
, ,
которые называют

Замечание.
Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения

Пример

Решить систему уравнений

Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:

Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу
и назовем ее матрицей

Матрицу
называют матрицей-столбцом из свободных членов, а матрицу
- матрицей-столбцом из

Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения
.
Умножая обе

Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует ,

Замечание

Метод матричного исчисления обычно применяют для решения систем трех уравнений

Пример

Средствами матричного исчисления решить систему линейных уравнений

Ранг матрицы. Элементарные преобразования.

Миноры матрицы

Рассмотрим матрицу А размера . Выберем в этой матрице

Пример

Из матрицы
можно составить 12 миноров 1-го порядка –

Если выбрать какие-либо две строки и два столбца матрицы, то

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наивысший
из порядков отличных от нуля миноров
матрицы.
Ранг матрицы

Элементарные преобразования матрицы

Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к

1.Умножение всех элементов строк на одно и то же число не

Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали

Пример

С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

Понятие о линейной зависимости

Рассмотрим матрицу
Обозначим ее строки
Очевидно . Это

Строки матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие не

Если одна из строк матрицы линейно выражается через другие строки,

Пример

Строки такой матрицы линейно независимы (лнз), так как их невозможно

Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы равен
максимальному числу линейно –

Теорема. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице