Системы счисления и логика предикатов

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Системы счисления и логика предикатов

Содержание

2. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Математическая логика стремится к возможно большей точности. Эта цель достигается с
3. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Будем полагать, что высказывания удовлетворяют закону исключенного третьего и закону непротиворечия,
4. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ С помощью констант (связок) атомарные высказывания соединяются в более сложные высказывания.
5. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Переменные и сложные высказывания, образованные из них посредствам многократного применения логических
6. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Для того, чтобы избежать слишком, большое количество скобок принимаются следующее соглашение:
7. 2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Любая формула алгебры высказываний рассматривается как сложное высказывание, принимающее значение 0,1. В алгебре
8. 2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ 3. Для произвольной формулы сначала задаются все комбинации истинностных значений переменных. Затем для
9. 2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Так, пользуясь указанным алгоритмом можно легко вычислить истинностное значение формулы: ((p→q)∧(q→r))→(p→r)
10. 2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Каждой формуле исчисления высказываний соответствует определенная функция, аргументы которой принимают значение из множества
11. 2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Это проблема полностью решается посредствам вычисления значения функции, представленной данной формулой, с помощью
12. 2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Аналогичным образом убеждаемся, что функция р∧p тоже выражается логический закон: закон непротиворечия:
13. 3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ С помощью таблиц истинности можно убедится, что нижеприведенные функции выражают логические законы. Запишем
14. 3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ Закон идемпотентности: для конъюнкции: р∧р ≡ р (3) для дизъюнкции: р∨ р ≡
15. 3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ Закон поглощения: для конъюнкции дизъюнкций: р∧( q ∨р) ≡ p (7) для дизъюнкции
16. Вопросы Перечислите 8 этапов подготовки и решения задач на ЭВМ Чему следует уделять первостепенное внимание при
18. Скачать презентацию

Слайд 2

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Математическая логика стремится к возможно большей точности.

Эта цель достигается с помощью точного языка, построенного из устойчивых, наглядно воспринимаемых знаков.
В исчислении высказываний используются символы трех видов:
1. Пропозициональные переменные.
Их будем обозначать малыми буквами латинского алфавита с индексами или без них: x, у, х,..., p, q, .. . Различные буквы обозначают разные суждения, внутренняя структура суждений нас не интересует.
Суждения, обозначенные пропозициональными переменными, называются высказываниями.

Слайд 3

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Будем полагать, что высказывания удовлетворяют закону исключенного

третьего и закону непротиворечия, т.е. каждое высказывание либо истинно, либо ложно.
Так что каждая переменная у нас будет принимать два значения: значения «истина» будем обозначать «1», а значение «ложь» – «0».
2. Константы или логические связи – «―», «∧», «∨», «→», «≡».
3. Скобки: «(» - левая скобка и «)» - правая скобка.

Слайд 4

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
С помощью констант (связок) атомарные высказывания соединяются

в более сложные высказывания. Так из двух высказываний p и q с помощью констант образуются высказывания
p - читается «не-р» - отрицание
q - читается «не-q»
p∧q – читается «р и q» - конъюнкция
p∨q – читается «р или q» - дизъюнкция
р→q - читается «если р, то q» - импликация
р≡q - читается «р тогда и только тогда, когда q» - эквивалентность
Сложное высказывание, образованное с помощью знака «¯» называется отрицанием, знака − «∧» - конъюнкцией, знака «∨» - дизъюнкцией, знака «→» - импликацией, знака «≡» − эквивалентностью.

Слайд 5

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Переменные и сложные высказывания, образованные из них

посредствам многократного применения логических связок и скобок называются формулами исчисления высказываний, если они удовлетворяют трем условиям:
Пропозициональная переменная есть формула
Если φ и ψ – формулы, то (φ), (ψ), (φ) ∧ ( ψ), (φ) ∨ ( ψ), (φ) → ( ψ), (φ) ≡ ( ψ) – формулы. Входящие в эти формулы, формулы (φ) и ( ψ) мы будем называть подформулами этих формул.
Всякая формула есть либо пропозициональная переменная или образуется из пропозициональных переменных последовательным применением правила 2).

Слайд 6

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Для того, чтобы избежать слишком, большое количество

скобок принимаются следующее соглашение:
Опускаются скобки, объемлющие отдельные переменные.
Полагают, что знак конъюнкций связывает сильнее, чем дизъюнкции и в формулах (φ∧ψ) ∨ γ, γ∨(φ∧ψ) скобки можно опускать.
Аналогичные соглашения принимается относительно других знаков, т.е. считается, что знак «∧» связывает сильнее, чем знаки «∨», «→», «≡», знак «∨» сильнее, чем знаки «→», «≡», знак «→» сильнее, чем знак «≡».
Правда, для легкости чтения формул мы будем иногда отступать от этих соглашений.

Слайд 7

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Любая формула алгебры высказываний рассматривается как сложное высказывание, принимающее

значение 0,1.
В алгебре высказываний решается следующая задача: определить истинностное значение формулы исчисления высказываний для любой комбинации истинностных значений входящих в нее переменных.
Для решения этой задачи пользуются следующим алгоритмом.
Атомарное высказывание, т.е. переменная, может принимать два значения «1» или «0».
Значение формул образованных неоднократным применением логических связок к атомарным высказываниям, задается таблицей:

Слайд 8

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
3. Для произвольной формулы сначала задаются все комбинации истинностных

значений переменных. Затем для каждой комбинации истинностных значений переменных вычисляются значение подформул данной формулы, образованных из переменных однократным применением логических связок, далее вычисляется значение подформул, образованных из предыдущих подформул однократным применением логических связок и т.д. пока в итоге не найдут истинностное значение всей формулы.

Слайд 9

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Так, пользуясь указанным алгоритмом можно легко вычислить истинностное значение

формулы:
((p→q)∧(q→r))→(p→r)

Слайд 10

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Каждой формуле исчисления высказываний соответствует определенная функция, аргументы которой

принимают значение из множества {0,1} и сама она принимает значение из этого множества.
Эту функцию называют функцией исчисления высказываний.
Проблема разрешимости в алгебре высказываний заключается в решении вопроса, является ли сложная формула
тождественно истинной, т.е. истинной при всех значениях входящих в нее переменных,
выполнимой, т.е. истинной лишь для некоторого набора значений переменных,
тождественно ложной, т.е. ложной при всех значениях переменных.

Слайд 11

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Это проблема полностью решается посредствам вычисления значения функции, представленной

данной формулой, с помощью таблиц истинности.
Функция исчисления высказываний выражает логический закон, если является тождественно истинной при всех возможных значениях переменных.
Так, с помощью таблицы убеждаемся, что функция р∨p выражается логический закон - закон исключенного третьего:

Слайд 12

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Аналогичным образом убеждаемся, что функция р∧p тоже выражается логический

закон: закон непротиворечия:

Слайд 13

3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
С помощью таблиц истинности можно убедится, что нижеприведенные функции

выражают логические законы.
Запишем следующие 9 законов логики:
Закон тождества: р≡р (1)
Закон отрицания:
для конъюнкции: р∧p (2) (закон непротиворечия)
для дизъюнкции: р∨p (21) (закон исключенного третьего)

Слайд 14

3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
Закон идемпотентности:
для конъюнкции: р∧р ≡ р (3)
для

дизъюнкции: р∨ р ≡ р (31)
Закон коммутативности:
для конъюнкции: р∧ q ≡ q∧р (4)
для дизъюнкции: р∨ q ≡ q∨р (41)
Ассоциативный закон:
для конъюнкции: (р∧q) ∧ r ≡ p ∧ (q∧r ) ≡ p ∧ q∧r (5)
для дизъюнкции: (р∨q) ∨r ≡ p∨ (q∨r ) ≡ p ∨ q∨r (51)
Дистрибутивный закон:
для конъюнкции дизъюнкций: р∧( q ∨ r) ≡ (p ∧q) ∨ (р∧r ) (6)
для дизъюнкции конъюнкций: р∨(q∧ r) ≡ (p∨ q) ∧ (р∨r) (61)

Слайд 15

3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
Закон поглощения:
для конъюнкции дизъюнкций: р∧( q ∨р) ≡ p

(7)
для дизъюнкции конъюнкций: р∨(q ∧ р) ≡ p (71)
Закон двойственности (теорема де Моргана):
для конъюнкции: р∧q ≡ р ∨q (8)
для дизъюнкции: р∨q ≡р ∧q (81)
Закон двойного отрицания: р ≡ р (9)

Слайд 16

Вопросы
Перечислите 8 этапов подготовки и решения задач на ЭВМ
Чему следует уделять

первостепенное внимание при постановке задачи
Что такое математическая формулировка (формализация) задачи
Что необходимо учитывать при выборе (разработке) метода решения
Дайте определение алгоритма
Способы описания алгоритмов

Системы счисления и логика предикатов

Содержание

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙМатематическая логика стремится к возможно большей точности.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙБудем полагать, что высказывания удовлетворяют закону исключенного

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙС помощью констант (связок) атомарные высказывания соединяются

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙПеременные и сложные высказывания, образованные из них

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙДля того, чтобы избежать слишком, большое количество

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙЛюбая формула алгебры высказываний рассматривается как сложное высказывание, принимающее

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ3. Для произвольной формулы сначала задаются все комбинации истинностных

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙТак, пользуясь указанным алгоритмом можно легко вычислить истинностное значение

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙКаждой формуле исчисления высказываний соответствует определенная функция, аргументы которой

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙЭто проблема полностью решается посредствам вычисления значения функции, представленной

2. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙАналогичным образом убеждаемся, что функция р∧p тоже выражается логический

3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИС помощью таблиц истинности можно убедится, что нижеприведенные функции

3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИЗакон идемпотентности: для конъюнкции: р∧р ≡ р (3) для

3. ЗАКОНЫ ЛОГИКИЗакон поглощения:для конъюнкции дизъюнкций: р∧( q ∨р) ≡ p

ВопросыПеречислите 8 этапов подготовки и решения задач на ЭВМЧему следует уделять

Похожие презентации