Скалярное поле

(или все пр-во), каждой точке Р которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины U.
Пр-ры: неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности, поле распределения температуры в данном теле; поле распределения электрического потенциала и т.д.
Скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения точки Р в пространстве. Величина U рассматривается как функция точки Р: u=F(P). Эта функция называется функцией поля.
U=F(P)=F(x,y,z)
Всякая функция трех переменных U=(x,y,z) задает некоторое скалярное поле.
Скалярные поля изображаются геометрически с помощью поверхностей уровня.

точек пространства, в которых функция поля U=F(x,y,z) имеет одно и то же значение С.
Ур-е поверхности уровня имеет вид:
F(x,y,z)=C
Пр-р: 1) U=x2+y2+z2
поверхности уровня сферы : x2+y2+z2=С.
2) если скалярным полем является поле распределения температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля будут так называемые изотермические поверхности, т.е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна.

Р(x,y,z) этого поля и луч , выходящий из точки Р в направлении единичного вектора.
где - углы вектора c осями координат.
Опр-е: Производной функции U=F(x,y,z) по направлению
называется предел .
Обозначение: .
Производная по направлению дает скорость
изменения функции U в этом направлении.

производная U по направлению совпадает c соответствующей частной производной этой функции.
Пр-р: Найти производную функции u=x2-2xz+y2 в точке Р1(1;2;-1) по направлению, идущему от точки Р1 к точке
Р2 (2;4;-3).
Решение:
соответствующий ему единичный вектор

формулу (*) найденные значения, получим
искомую производную:

вектор, тесно связанный с этой функцией – градиент скалярного поля.
Опр-е: Градиентом в точке Р(x,y,z) скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией U=F(x,y,z), называется вектор, равный:
Связь между градиентом функции U=F(x,y,z) в данной
точке и производной по направлению в этой же точке.
Теорема: Проекция вектора grad u на единичный вектор
равна производной ф-ии U по направлению