Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Содержание

2. Распишем второе уравнение через косинус суммы, подставляя при этом вместо cosωt и sinωt их значения (25.3.3)
3. Последнее уравнение есть, вообще говоря, уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и y.
4. Рис. 25.6 Рис. 25.7
5. т.е. уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Случай эллиптически
7. Рис. 25.9 Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно
8. Рис. 25.10 Рис. 25.11
9. Рис. 25.125
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Распишем второе уравнение через косинус суммы, подставляя при этом вместо cosωt

и sinωt их значения (25.3.3) и (25.3.3,a):
y/а2 = cosωt⋅cosΔα - sinωt⋅ sinΔα
= (x/а1) cosΔα - (± sinΔα(√1 – x2/а12))
Перепишем
(y/а2 – (x/а1)cosΔα)2 = (-sinΔα√1-x2/а12 )2
Возведем обе части в квадрат
y2/а22 +(x2/а12 )⋅cos2Δα - (2xy/а1а2)⋅cosΔα =
sin2Δα - (x2/ а12)⋅sin2Δα
y2/a22 + (x2/a12)(cos2Δα + sin2Δα) – (2xy/a1a2)⋅cosΔα = sin2Δα
y2/a22 + x2/a12 – (2xy/a1a2)⋅cosΔα = sin2Δα
В общем, виде
y2/a22 +x2/a12- (2xy/a1a2)⋅ cos(α2 - α1 ) = sin2(α2 - α1) (3.4)

Слайд 3

Последнее уравнение есть, вообще говоря, уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно

координатных осей х и y.
Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд а1 и а2 и разности фаз α.
Определим форму траектории для некоторых частных случаев.
1) Начальные фазы колебаний одинаковы α1 = α2 т.е. α2 - α1 = 0
Тогда уравнение имеет вид y2/a22 +x2/a12- 2xy/a1a2 = 0
или (x/а1 - y/а2)2 =0 или x/а1 = y/а2
или x/y =а1 /а2 или y= (а1 /а2) ⋅x (3.5)
(Это уравнение прямой, проходящей через начало координат)
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами колебания будут происходить вдоль прямой, проходящей через начало координат.
Такие колебания называются линейно поляризованными.

Слайд 4

Рис. 25.6
Рис. 25.7

Слайд 5

т.е. уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны

соответствующим амплитудам колебаний. Случай эллиптически поляризованных колебаний. При равенстве амплитуд а1 и а2 эллипс вырождается в окружность.
Случаи α = + π/2 и α = -π/2 отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если α = +π/2 , уравнение (3.7) можно записать следующим образом:
х = а1cosωt и y = -а2sinωt . (3.8)
В момент времени t = 0 тело находится в точке 1 (рис. 25.8). В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке. Если α = -π/2 , уравнение (3.7)

Рис. 25.8

можно записать следующим образом:
х = а1cosωt и y = +а2sinωt . (3.8)
Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.

Слайд 6

Слайд 7

Рис. 25.9
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория

результирующего движения имеет вид
довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. На рис. 25.9 показана одна из простейших траекторий. Получающаяся при отношении частот 1:2 и разности фаз π/2. Уравнения колебаний имеют вид
х = аcosωt и y = bcos(2ωt+ π/2) (3.11)
За то время, пока вдоль оси х точка успевает пройти из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение.
При отношении частот 1:2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис. 25.10), по которой точка движется туда и обратно. Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 25.11 для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фаз π/2.

Слайд 8