Содержание
- 2. Теория игр Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс,
- 3. Представление игр Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого
- 4. Типы игр Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя
- 5. Типы игр Игры с нулевой суммой (антагонистические) – особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть
- 6. Типы игр Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают
- 7. Типы игр Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т.
- 8. Платежная матрица Рассмотрим конечную игру, в которой первый игрок А имеет m стратегий, а второй игрок
- 9. Платежная матрица
- 10. Орлянка Простейшим примером антагонистической игры является игра "Орлянка". Первый игрок прячет монету орлом или решкой вверх,
- 11. Орлянка В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму: где x X и y
- 12. Дилемма заключенного Двое преступников, А и Б, попались примерно в одно и то же время на
- 13. Дилемма заключенного
- 14. Дилемма заключенного Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о минимизации собственного срока заключения. Представим
- 15. Обмен закрытыми сумками Два человека встречаются и обмениваются закрытыми сумками, понимая, что одна из них содержит
- 16. Примеры из реальной жизни Обе страны, вовлечённые в гонку вооружений, будут заявлять, что у них есть
- 17. Минимакс Найти максиминные стратегии 1 игрока, минимаксные стратегии 2 игрока, седловые точки, цену игры. Платежная матрица
- 18. Отбрасывание стратегий Найти решение игры аналитическим методом, комбинируя его с отбрасыванием доминируемых стратегий.
- 19. Решение игры 2×n
- 20. Решение игры 2×n
- 21. Графический метод Найти решение графо-аналитическим методом.
- 22. Графический метод
- 24. Скачать презентацию
Теория игр
Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх.
Теория игр
Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх.
Теория игр — это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками,
Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками,
Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы — второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки.
Кооперативные игры используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.
Типы игр
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в
Типы игр
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в
Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные.
Типы игр
Игры с нулевой суммой (антагонистические) – особая разновидность игр с
Типы игр
Игры с нулевой суммой (антагонистические) – особая разновидность игр с
В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других.
Типы игр
Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В
Типы игр
Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В
Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.
Типы игр
Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов,
Типы игр
Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов,
Метаигры - это такие игры, результатом которых является набор правил для другой игры (называемой целевой или игрой-объектом). Цель метаигр — увеличить полезность выдаваемого набора правил. Теория метаигр связана с теорией оптимальных механизмов.
Платежная матрица
Рассмотрим конечную игру, в которой первый игрок А имеет m
Платежная матрица
Рассмотрим конечную игру, в которой первый игрок А имеет m
Предположим, что нам известны значения aij при каждой паре стратегий. Эти значения можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют стратегиям Ai, а столбцы — стратегиям Bj.
Тогда, в общем виде матричная игра может быть записана следующей платежной матрицей
Платежная матрица
Платежная матрица
Орлянка
Простейшим примером антагонистической игры является игра "Орлянка". Первый игрок прячет монету
Орлянка
Простейшим примером антагонистической игры является игра "Орлянка". Первый игрок прячет монету
В данной игре каждый участник имеет две стратегии: "орел" и "решка". Множество ситуаций в игре состоит из четырех элементов. В строках таблицы указаны стратегии первого игрока х, в столбцах - стратегии второго игрока y. Для каждой из ситуаций указаны выигрыши первого и второго игроков.
Орлянка
В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:
где x
Орлянка
В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:
где x
Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то F2(x,y) = − F1(x,y).
Дилемма заключенного
Двое преступников, А и Б, попались примерно в одно и
Дилемма заключенного
Двое преступников, А и Б, попались примерно в одно и
Дилемма заключенного
Дилемма заключенного
Дилемма заключенного
Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о минимизации
Дилемма заключенного
Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о минимизации
Представим рассуждения одного из заключённых. Если партнёр молчит, то лучше его предать и выйти на свободу (иначе — полгода тюрьмы). Если партнёр свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить 2 года (иначе — 10 лет). Стратегия «свидетельствовать» строго доминирует над стратегией «молчать». Аналогично другой заключённый приходит к тому же выводу.
Обмен закрытыми сумками
Два человека встречаются и обмениваются закрытыми сумками, понимая, что
Обмен закрытыми сумками
Два человека встречаются и обмениваются закрытыми сумками, понимая, что
В этой игре обман всегда будет наилучшим решением, означая также, что рациональные игроки никогда не будут играть в неё, и что рынок обмена закрытыми сумками будет отсутствовать.
Примеры из реальной жизни
Обе страны, вовлечённые в гонку вооружений, будут заявлять,
Примеры из реальной жизни
Обе страны, вовлечённые в гонку вооружений, будут заявлять,
Похожие явления наблюдаются и в автоспорте — «Формула-1», где последние 20 лет происходит гонка бюджетов команд. Из-за этого число машин-участников сократилось с 36 в 1990 году до 20 в 2003.
В велогонках дилемма заключённого возникает, когда два сильных гонщика оторвались от общей группы. Каждый из них может либо предоставить соседу слипстрим («сотрудничать»), либо ехать сзади («предать»). Для обоих идеалом будет, когда они по очереди «висят» друг у друга на хвосте — но всегда есть желание не дать соседу слипстрима (тогда тот постепенно устаёт и «скатывается» в пелотон, а ты финишируешь с большим отрывом).
Случай дилеммы заключённого может быть найден в бизнесе. Две конкурирующие фирмы должны определиться, сколько средств тратить на рекламу. Эффективность рекламы и прибыль каждой фирмы уменьшается с ростом расходов на рекламу у конкурента. Обе фирмы принимают решение увеличить расходы на рекламу, при этом их доли рынка и, возможно, объёмы продаж остаются неизменными, а прибыль сокращается.
Минимакс
Найти максиминные стратегии 1 игрока, минимаксные стратегии 2 игрока, седловые точки,
Минимакс
Найти максиминные стратегии 1 игрока, минимаксные стратегии 2 игрока, седловые точки,
Платежная матрица А=
Отбрасывание стратегий
Найти решение игры аналитическим методом, комбинируя его с отбрасыванием доминируемых
Отбрасывание стратегий
Найти решение игры аналитическим методом, комбинируя его с отбрасыванием доминируемых
Решение игры 2×n
Решение игры 2×n
Решение игры 2×n
Решение игры 2×n
Графический метод
Найти решение графо-аналитическим методом.
Графический метод
Найти решение графо-аналитическим методом.
Графический метод
Графический метод