ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 3

«ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ФУНКЦИЙ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ».

1. Веса измерений и их свойства. Соотношение между весами и средними

5.Поправки неравноточных измерений одной и той же величины и их свойства.

1.Веса измерений и их свойства. Соотношение между весами и средними квадратическими

Вес измерения р – величина обратно-пропорциональная квадрату средней квадратической ошибки

Поскольку k выбирается произвольно, при решении данной задачи все веса можно

Найдем вес среднего арифметического, принимая вес р отдельного измерения равным единице.

Подставляя р =1 и

Р = п, (3)

, получим

т.е. вес среднего

На этом основании любой результат измерений c весом p можно

2. Веса функций измеренных величин.

Ранее были выведены формулы для нахождения СКО

Принимая k=1, получим

Величину

называют обратным весом.

Если в ранее выведенные формулы подставить вместо квадратов СКО соответствующие обратные

2.

(5)

3.

(6)

4.

(7)

Если измерения равноточные, то

откуда

т.е. вес суммы n

5. u = f (x1, x2, …, xn),

(9)

3. Средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Средней квадратической ошибкой единицы

Выразим μ через истинные ошибки Δ.
Пусть измерению с весом p

Откуда

(10)

(11)

(12)

Пусть имеется ряд измерений l1, l2, …, ln, с весами p1,

Для равноточных измерений можно записать

или

(13)

4. Среднее весовое. Средняя квадратическая ошибка и вес среднего весового.

Рассмотрим

Результат любого измерения li можно рассматривать как среднее арифметическое из pi

Таким образом, измерения можно свести к равноточным и окончательное значение вычислить

Из (14) следует, что

Подставляя в (15), получим

(16)

Величину LB называют средним весовым значением (весовым средним, средневзве- шенным, общей

Величина [p] – сумма весов, а следовательно, общее число измерений с

В результате получим

или

(19)

5. Поправки неравноточных измерений одной и той же величины и их

Запишем поправки для всех n измерений, умножим на соответствующие веса и

Подставляя
[pv] = 0. (21)
Это первое свойство поправок неравноточных измерений.

Второе свойство поправок для неравноточных измерений одной и той же величины

Вычисления контролируются по формуле
[p v2] = – [pvl] = –

6. Определение средней квадратической ошибки единицы веса по разностям двойных неравноточных

Составим разности
d1 = l1 – l1/,
d2 = l2 – l2/,
….

Каждая разность di = li – li/ является функцией равноточных измерений

После исключения систематических ошибок СКО единицы веса находят по формуле

(28)

7. Оценка точности измерения углов и превышений по невязкам в полигонах

Если вес измерения одного угла принять равным единице, то вес суммы

Здесь μ является СКО измерения одного угла, т.к. за единицу веса

Для триангуляции n =3, поэтому

Для четырехугольников

(32)

(31)

Аналогичными рассуждениями можно получить формулу для оценки точности превышений геометрического нивелирования.

СКО единицы веса (СКО в сумме превышений
на 1 км хода)

В качестве единицы веса можно взять вес превышения на одной станции.