Идеальный газ. Теплоемкость. Термодинамика.Энтропия

Менделеева-Клапейрона:
РV = nkTV = νRT = (M/μ)RT
где R = kNA = 8,3 Дж/моль•К - универсальная газовая постоянная
Температура – мера средней кинетической энергии движения молекул
T = Θ/k - абсолютная температура, измеряемая в градусах Кельвина [K]; Θ - термодинамическая температура, измеряемая в Джоулях; k = 1,38 х 10-23 Дж/К
= m/ 2 =3Θ / 2m = 3kT/2

соударений и обменов энергией между молекулами приводит к равномерному ее распределение по всем возможным степеням свободы (способам накопления энергии) причем на каждый способ приходится энергия, равная kT/2

Средняя энергия одной молекулы

Колебательные степени свободы учитываются дважды, поскольку
колебательному движению соответствует как кинетическая,
так и потенциальная энергии

kT/2

Средняя энергия одной молекулы:

Внутренняя энергия одного моля «идеального» газа (когда можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия молекул)

При нормальных температурах для одноатомного идеального газа i = 3, для двухатомного i = 5

Внутренняя энергия произвольного количества идеального газа:
U = ivRT/2

надо передать ему количество теплоты
dQ = СmdТ > 0
При охлаждении тело отдает то же количество теплоты (dQ < 0 ) .
С = dQ/mdТ - удельная теплоемкость тела, т.е. количество теплоты, (Дж) которое получает (или отдает) 1 кг вещества при нагревании (или охлаждении) на 1 К [C] = [ Дж/кг•К ]
Сμ = μdQ/mdT - молярная теплоемкость тела, т.е. количество теплоты, (Дж) которое получает (или отдает) 1 моль вещества при нагревании (или охлаждении) на 1 К [Cμ] = [ Дж/моль•К ]

Теплоемкость

= iR/2 + PdV/vdT;
УМК: PV = vRT =>
Изотермический процесс: T=const.; dU = 0; dQ = PdV = 0
cμT = dQ/vdT = ∞
Изохорный процесс: V = const.; dA = 0; dU = dQ
cμV = dU/vdT = iR/2
Изобарный процесс: P = const.; dA = PdV = vRdT
cμP = iR/2 +R = (i+2)R/2
Адиабатный процесс: dQ = 0 (теплоизолированная система)
cμQ = dQ/vdT = 0

Теплоёмкость. Изопроцессы

/

показатель
адиабаты

для идеального газа

dQ = dU + dAгазa = ivRdT/2 + PdV = 0

PV = vRT => P = vRT/V

ivRdT/2 + vRTdV/V= 0 => dT/T + 2dV/iV = 0 =>

lnT + (2/i)lnV = ln(TV2/i) = Const

TV2/i = Const

γ =(i+2)/i = 1 + 2/i => 2/i = γ - 1

для идеального газа

уравнение адиабаты идеального газа
в переменных T и V

уравнение адиабаты идеального газа в переменных p и V – уравнение Пуассона

T γ V1-γ = Const

уравнение адиабаты идеального газа в переменных p и T – уравнение Пуассона

n называется показателем политропы. .

Во всех изо-процессах теплоемкость остается постоянной и равной численной константе, умноженной на универсальную газовую постоянную R. Сμ/R = Const

Процессы, где остаются постоянными Сμ/R и PVn называются политропными. .

R/(n-1)
Проверим:
n = 1 (изотерма => cn = R(i/2 +1/(1-1)) -> ∞
n = γ = 1+2/i (адиабата => cn = R(i/2 +i/2) = 0
n = 0 (изобара => cn = R(i/2 +1)
n = ∞ (изохора => cn = Ri/2
Все результаты - правильные!:

Политропный процесс = процесс, протекающий с постоянной теплоемкостью. Убедимся, что процесс, в котором PVn = Сonst, будет иметь постоянную теплоемкость при любом значении n,
Связь показателя политропы n и теплоемкости. .

работа газа

описания состояний газов, близких к идеальному, используется всего несколько усредненных макро-параметров:
V [м3] – объем
M [кг] - масса; ρ[кг/м3] = M/V – плотность вещества
P [Н/м2] – давление
T [К] – температура
μ [г/моль] – молярная масса; ν [моль] = M/μ = количество вещества
S – энтропия – что это такое?

Макропараметры

+ PdV

Энтропия появилась в термодинамике для характеристики не состояний, а процессов: если в процессе система получает теплоту dQ при температуре T, то приращением энтропии системы называют отношение
dS = dQ/T [Дж/K]:

= (iR/2)(dT/T) + (P/T)dV = (iR/2)(dT/T) + (R/V)dV =
= (iR/2)(dT/T) + R(dV/V) = Rd(lnTi/2V) =>
S =Rln(Ti/2V)+Const =CVlnT +RlnV+Const
Энтропия как параметр состояния определяется в термодинамике с точностью до постоянной (подобно потенциальной энергии в механике).
Для произвольного количества вещества
S=vRln(Ti/2V)+Const = v(CVlnT +RlnV) + Const
“Энтропия аддитивна, подобно внутренней энергии системы.

Энтропия в термоднамике

dS =dQ/T = dU/T + dA/T = (ivR/2)dT/T + PdV/T

энтропии через разные параметры
S= vRln(Ti/2V)+Const = v(СVlnT+RlnV)+Const S=vRln(T(i+2)/2/P)+Const = v(СPlnT-RlnP)+Const
S=vRln(Pi/2V(i+2)/2)+ Const = v(СPlnV+СVlnP)+Const

Энтропия в термоднамике

Зачем нужна (чем полезна) энтропия в термодинамике?
Энтропия характеризует степень беспорядка в термодинамической системе
Энтропия помогла красиво построить теорию тепловых машин
Энтропия помогает разобраться в отличиях обратимых и необратимых процессов в термодинамике
В статистической физике выявляется глубокий физический смысл понятия энтропии, по сей день обсуждаемый
“.

например, через объем V и внутреннюю энергию U
S(V, T) = vRlnV + vCVlnT + Const =>
S(V, U) = vRlnV + vCVlnU + Const’ ; Const’ = Const + vCVln(ivR/2)

Математически энтропия, как правило, выражается функцией двух параметров S(T, V), или S(T, P), или S(P,V)

Математически дифференциал от любой функции любых двух переменных df(x,y)=(df/dx)y dx+(df/dy)x dy

Полный дифференциал энтропии как функции внутренней энергии и объема:

и из первого начала термодинамики следует:
dS = dQ/T = dU/T + PdV/T

Энтропия в термодинамике

Сравнивая два дифференциала, находим:

передается от более нагретого газа к менее нагретому. При этом общая энтропия системы возрастает
dU1/T1 + dU2/T2

v, V, T, P – все остается прежним, НО(!) – возрос беспорядок и энтропия системы
Энтропия – мера беспорядка! …

S= v(СVlnT+RlnV) =>

Энтропия и термодинамика

растёт

S растёт

Неравенство Клаузиуса – для циклических процессов

Для необратимых процессов всегда

Приращение энергии и теплота

теплоты полностью в работу (Лорд Кельвин, 1851).

Лорд Кельвин (У. Томсон)

2-е начало термодинамики
– формулировки Кельвина и Клаузиуса

При любых процессах в изолированной системе
её энтропия не убывает. СЛЕДСТВИЯ:
Нельзя осуществить процесс,
единственным конечным результатом
которого будет переход теплоты от
менее нагретого тела к более нагретому
(Р. Клаузиус, 1850).

Р. Клаузиус

упорядоченное (и оттого более вероятное) состояние. При этом энтропия системы возрастает. Самое вероятное состояние – равновесное, с максимальной энтропией
В ЧАСТНОСТИ: При контакте двух тел, теплота ВСЕГДА переходит от более нагретого тела к менее нагретому, приводя тела в тепловое равновесие.
Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) отражает общность механики и термодинамики.
Второй закон термодинамики отражает РАЗНИЦУ механики и термодинамики.

Второй закон термодинамики

из ничего. Вечный двигатель первого рода (работающий без источников энергии) НЕ ВОЗМОЖЕН
Второй закон термодинамики запрещает возможность существования и вечного двигателя второго рода, который превращал бы в работу ВСЁ тепло, извлекаемое из окружающих тел (КПД=100%).

2-е начало термодинамики
– невозможность вечного двигателя

часть сосуда и охладить левую без дополнительного подвода энергии к системе. Энтропиясистемы в начальном состоянии больше, чем в конечном.

James Clerk Maxwell, 1831-79

2-е начало термодинамики
– невозможность вечного двигателя

«Неизбежное увеличение беспорядка (энтропии) с течением времени – это одно из определений т. н. «стрелы времени», т. е. возможности отличить прошлое от будущего, определить направление времени»
(Stephen Hawking. 1942-2016)

С. Хокинг

Энтропия – это таинственно и «круто»!

Энтропия – это до сих пор таинственно…

получаемой от внешних источников.

Тепловой машине нужно рабочее вещество (газ или жидкость), которое совершает термодинамический цикл: (нагревание>расширение>охлаждение>сжатие).
При нагревании рабочему веществу сообщается теплота Q1.
При охлаждении часть теплоты Q2 отбирается . .

По закону сохранения энергии, рабочее вещество способно совершить
работу A = Q1.- Q2 . Коэффициентом полезного действия (К.П.Д. = η) тепловой машины называется отношение полезной работы А к затраченной энергии Q1: η = А/Q1 = (Q1 - Q2)/Q1

Тепловые машины

с температурой Тн

Тх -> Tн

Тн

Расширение при
нагревании до Тн

Теплота Q2 отдается
“холодильнику” с температурой Тх

Тх

Сжатие при
охлаждении до Тх

Тн -> Tх

КПД: η = А/Q1 = (Q1-Q2)/Q1 <1

Тепловые машины

цикл, состоящий из двух изотерм и двух изоэнтроп (адиабат).

dS = dQ/T = 0

Sadi Carnot
1796-1832

максимален и не зависит от природы рабочего вещества и конструкции машины. Его величина равна

Найдем КПД:

dS = dQ/T = 0

Тепловые машины. Цикл Карно

максимален. Как доказать это?

Простейший способ: при фиксированной температуре нагревателя и холодильника, при заданных значениях начального и конечного состояний – максимально возможная работа (площадь внутри графика процесса) – если процесс занимает все пространство между указанными пределами. – (прямоугольник на диаграмме ST)

dS = dQ/T = 0

Тепловые машины. Цикл Карно

цикл теплота.

Тепловые машины. Цикл Карно

Более формальный способ: применим неравенство Клаузиуса)