Содержание
- 2. Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) , если угол между
- 3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой , то и другая прямая перпендикулярна
- 4. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
- 5. На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости α. Окружающая нас обстановка дает много примеров,
- 6. Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости Если
- 8. Скачать презентацию
Перпендикулярные прямые
в пространстве
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными
Перпендикулярные прямые
в пространстве
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными
a
b
c
90°
Рис. 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой ,
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой ,
Докажем лемму о перпендикулярности двух
параллельных прямых к третьей прямой
Лемма:
Доказательство:
Пусть a || b и a ⊥ b. Докажем, что b ⊥ c. Через произвольную т. М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым a и c. Так как a ⊥ c, то AMC = 90°.
По условию b || а, а по построению а || МА, поэтому b || МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b ⊥ c.
Рис. 2
b
a
C
A
M
c
Параллельные прямые,
перпендикулярные к плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
Параллельные прямые,
перпендикулярные к плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: а ⊥ α.
Если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости α имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости.
Значит, прямая а пересекает плоскость α.
На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости α.
Окружающая нас
На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости α.
Окружающая нас
α
a
Рис. 3
Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и
Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Рассмотрим две параллельные прямые а и b и плоскость α, такую, что а⊥α. Докажем, что и b ⊥ α.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рисунок 4). Так как а ⊥ α, то а ⊥ х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b ⊥ х. Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b ⊥ α.
Доказательство:
Рис. 4
α
a
b
x