Подобные треугольники Признаки подобия треугольников

Определение подобных треугольников

Два треугольника называться подобными, если их углы соответственно равны

Первый признак подобия треугольников

Теорема
Если два угла одного треугольника соответственно равны

Дано

АВС и А1 В1С1 –треугольники
<А=А1; <В=<В1

A

C

B

C1

B1

A1

Доказать:

B1

C1

A1

B

C

A

∆АВС~∆А1В1С1

B1

Доказательство:

По теореме о сумме углов треугольника: С=180°-А-В,С1=180°-А1-С1,следовательно угол С равен углу

Доказательство:

Докажем ,что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1.Т.к <А=<А1

Доказательство:

Из равенств пункта 2 следует, что АВ∕ А1В1=ВС ∕ В1С1.Аналоггично,используя равенства

Доказательство:

Из равенств пункта 2 следует, что АВ∕ А1В1=ВС ∕ В1С1.Аналоггично,используя равенства

Что и требовалось доказать:

Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника

Второй признак подобия треугольников.

Теорема:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум

Дано

A

B

C

C1

B1

A1

AB/A1B1=AC/A1C1;

Доказать:
∆АВС ~ ∆А1В1С1

Доказательство:

Для того, чтобы доказать данную теорему, нужно учитывать первый признак подобия

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АВС2,у которого <1= <2=∆ABC2~∆A1B1C1(по первому признаку подобия)

A

B

C

C1

B1

A1

C2

2

1

Доказательство:

Значит, AB/A1B1=AC2/A1C С другой стороны AB/A1B1=AC/A1C1(по условию).Получаем АС=АС2
∆АВС и ∆АВС2 равны

Что и требовалось доказать:

Следует, что

Третий признак подобия треугольников

Доказательство теоремы

Теорема:

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то

Доказать:

∆АВС ~ ∆А1В1С1

A

B

C

C1

B1

A1

Доказательство:

Учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что Рассмотрим треугольник АВС2,у

Доказательство:

A

C

C1

B1

A1

B

C2

2

1

Доказательство:

Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Что и требовалось доказать:

Получаем: ВС=ВС2, СА=С2А. Треугольники АВС и АВС2 равны