Задачи по теме «Объемы тел вращения»

оси.

Задачи:
Построение тел вращения, полученных при вращении различных фигур вокруг оси;
Нахождение объема, полученного тела вращения в каждом случае.

4 см вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найти объем полученного тела вращения.

А

В

Решение: Vт =Vц – Vк1 – Vк2
Конус1 имеет основание с диаметром АА1; Конус2 имеет основание с диаметром ВВ1.
Vц = Sосн*H; Vк = 1/3 Sосн*h
СВ=СВ1=4 см, тогда АВ=А1В1=8 см=H, АС=А1С=√82+42=√48см;
∆АА1С -равносторонний; АА1=√48см=4√3,
R1=R2=2√3см, О1С=√48 – 12=√36=6см=h1
h2=8-6=2см
Vц=П( 2√3)2•8=96П Vк1=1/3П(2√3)2•6=24П
Vк2=1/3П(2√3)2•2=8П
Vт=96П - 24П - 8П = 64П
Ответ: 64Псм3

А1

В1

С

О

О1

R1

R2

А= 60° вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла, параллельно высоте параллелограмма. Найти объем полученного тела вращения.

А

B

C

D

С1

В1

А1

Решение: Vт=Vук – Vк;
Vук=1/3П h(R2+R12+RR1); Vк=1/3ПR2h; угол D=A, угол СDC1=60°, ∆CC1D – равносторонний, СС1=6см, Rк=3см, h=√62-32=√27=3√3см
R=BD+B1D=3+3=6cм; R1=AC+CC1+A1C1=3+6+3=12см
Vк=1/3П •62•3√3=36√3П

Ответ: 216√3П см3 Vук=1/3П 3√3(36+144+72)=252√3П
Vт= 252√3П - 36√3П =216√3П

высоте. Найдите объем полученного тела вращения, если нижнее основание трапеции 10 см, верхнее основание 6 см, а острый угол 60°.

А

В

С

С1

А1

В1

D

Эта задача решается аналогично предыдущей.
Ответ: 880√3П /3

из его вершин параллельно диагонали квадрата Найти объем полученного тела вращения.

А

В

С

D

А1

В1

С1

Решение: Полученное геометрическое тело состоит из двух равных усеченных конусов, следовательно достаточно найти объем одного из них и умножить его на два.
Vт=2V, V =Vук-Vк
AA1=√42+42=√32=4√2, Rк=R1=2√2cм, BD=4√2,R=8√2см
OD=h=√16-8=√8= 2√2cм

R1

R

O

Vук=1/3П h(R2+R12+RR1); Vк=1/3ПR2h Vк=1/3П(2√2)2•2√2=16П√2/3
Vук=1/3П 2√2((8√2)2+(2√2)2+32)=112П√2; V= 112П√2-16П√2/3=320П √2/3
Vт=2V=2•320П √2/3=640П√2/3см3 Ответ: 640П√2/3см3

цилиндр, усеченный конус, или комбинацию этих тел;
Объемы полученных тел находятся вычислением объемов составляющих их тел и действий с ними.