Содержание
- 2. Аналогично двухместному, определяются n–местные отношения – отношения между элементами x1∈A1 ,…, xn∈An некоторых множеств A1, …,
- 3. Пример. Отношения эквивалентности: числовые равенства Рефлексивность x = x Симметричность x=y => y=x Транзитивность x=y и
- 4. Пример. Отношения эквивалентности: 3) отношение «>» Рефлексивность x > x Симметричность x > y => y
- 5. Пример. Отношения эквивалентности: 5) подобие фигур. Пусть заданы фигуры А,В,С. Рефлексивность А ~ А Симметричность А
- 6. Утверждение. Любое отношение эквивалентности Ð(x,y), заданное на множестве M, определяет множество классов эквивалентности: два элемента x,y∈M
- 7. Таким образом, задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множества на непересекающиеся подмножества. Пример
- 8. 9.2. Аксиоматические теории и математические структуры Все примеры математических «языков» - числовые системы, евклидова геометрия, векторы,
- 9. Пример. 20 аксиом Гильберта описывают отношения между точками, прямыми, плоскостями, отрезками, углами и числами. Здесь: Утверждения:
- 10. Определение. Математической структурой называется система отношений Ð, заданная на базовых множествах M1,…, Mm посредством системы аксиом
- 11. Пример. Таким образом, все рассмотренные нами аксиоматики задают структуры (мы пока называли их системами): Структура натуральных
- 12. Определение. Система всех утверждений, доказываемых логическим путем в структуре ΣТ, называется аксиоматической теорией этой структуры, она
- 13. Примеры. 1) теорема о конгруэнтности треугольников по 3 углам является элементом теории структуры планиметрии Лобачевского. 2)
- 14. 9.3. Модель (реализация) системы аксиом. В системе аксиом не всегда указываются конкретные объекты, к которым эти
- 15. Определение. Модель системы аксиом T (реализация системы аксиом) представляет собой такую совокупность некоторых объектов и отношений
- 16. Реализация R(ΣТ) аксиоматической структуры ΣТ :
- 17. Примеры реализаций. 1) Пусть ε1 – геометрическое евклидово пространство (прямая), и R1 - арифметическая модель евклидовой
- 18. Пример. 2) Пусть ε2 – геометрическое евклидово пространство (плоскость), и R2 - арифметическая модель евклидовой плоскости.
- 19. Пример. 2) Пусть ε2 – геометрическое евклидово пространство (плоскость), и R2 - арифметическая модель евклидовой плоскости.
- 22. 9.4. Формальная и содержательная аксиоматики, теории и структуры. Определение. Система аксиом Т, ее аксиоматичес-кая теория TΣ
- 23. Примеры. 2) Классическим примером абстрактной теории является геометрия Лобачевского. Когда были найдены ее реализации, например, реализация
- 24. 9.5. Изоморфизм реализаций. Пусть система аксиом Т имеет две реализации: R(T) и R'(T) . будет ли
- 25. Определение. Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:
- 26. Пример 1. Рассмотрим абсолютную геометрию плоскости (14 аксиом аксиоматики Гильберта - геометрия без аксиомы параллельности). Мы
- 27. В то же время не всем отношениям между точками и прямыми в L2 можно найти соответствующие
- 28. Пример 2. Пусть ε2 - геометрическая модель векторного пространства (объекты: направленные отрезки). Пусть Е2- арифметическая модель
- 29. Другими словами, изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения этих
- 31. Скачать презентацию