Стационарные случайные процессы

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Стационарные случайные процессы

Содержание

2. 11.1. Основные понятия и определения СП Вещественную переменную t будем называть временем; вещественную функцию x(t) –
3. называть случайным процессом; случайную величину Хt – сечением случайного процесса в момент времени t. Реализацию сечения
4. n-мерной функцией и n-мерной плотностью распределения СП Хt назовем (*)
5. Множество всех конечномерных законов распределения (*) будем называть законом распределения СП Хt. Математическим ожиданием, дисперсией и
6. – центрированный СП. Ковариационным и корреляционным моментами СП Хt называются функции (2)
7. Нормированной корреляционной функцией сечений Хt, Хt’ СП Хt будем называть функцию Числовые характеристики получены для СВ
8. Если X(t) и Y(t) – два СП, определенные на {Ω, F, P} и Т, то их
9. Теорема: СП X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует R(t, t’) для всех (t,
10. СП X(t) называется непрерывным: почти наверное (п.н.), если Р(А)=1 в среднем квадратическом (с.к.), если по вероятности
11. Каноническим разложением СП X(t) называют его представление в виде где Vi – коэффициенты – СВ с
12. 11.2. Основные понятия и определения стационарных СП СП X(t) называют стационарным в узком смысле, если F(x1,…,xn;
13. m(t)= mx(0)=const, D(t)=K(t, t)=K(0,0)=const, K(t, t’)=K(t-t’,0)=K(0, t’-t). K(t,t’)=k(τ)=k(- τ), τ =t’-t. k(τ) – четная функция, при
14. 11.3. Спектральное разложение стационарных СП - стационарный СП, определенный на отрезке времени [0,T] с корреляционной функцией
15. (k=1, 2,…) (5) координатные функции cos λkt, sin λkt (k=0, 1,…) и коэффициенты канонического разложения Uk,
16. М(Uk)=М(Vk)=0, D(Uk)=D(Vk)=Dk, М(Ui Uj)=М(Vi Vj)=0, M(Vi Uj)=0 (6) (7) Это выражение называют дискретным спектральным разложением стационарного
17. Множество пар {(λk, Dk)} называют спектром дисперсий спектрального разложения (4). Если Т=∞, то вместо дискретного применяется
18. M[U(λ)]=M[V(λ)]=0, KU(λ,λ’)=M[U(λ)U(λ’)]=s(λ)δ(λ - λ’), (9) KV(λ,λ’)=M[V(λ)V(λ’)]=s(λ)δ(λ - λ’), KUV(λ,λ’)=M[U(λ)V(λ)]=0 s(λ) – некоторая вещественная функция, называемая спектральной
19. (11) s(λ) и k(τ) спектральная функция.
20. Термин «шум» обозначает нежелательные электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических системах. Наличие шума, наложенного на
21. электромагнитного излучения (искровое зажигание). Естественные шумы исходят из атмосферы, солнца и др. галактических источников. Хорошее техническое
22. процесс с нулевым средним. Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности
24. Скачать презентацию

Слайд 2

11.1. Основные понятия и определения СП
Вещественную переменную t будем называть

временем; вещественную функцию x(t) – процессом; график функции x(t) – траекторией процесса. Множество возможных значений t обозначим Т. Пусть Xt или Х(t) – случайная величина, определенная на вероятностном пространстве {Ω, F, P} и зависящая от t∈T. Множество {Хt} случайных величин, соот-ветствующих различным t∈T, будем

Слайд 3

называть случайным процессом; случайную величину Хt – сечением случайного процесса в

момент времени t. Реализацию сечения Хt будем обозначать хt или x(t). В соответствии с определением случайных величин x(t)=X(t, ω), где ω∈Ω. Функцией распределения сечения Хt называют одномерной функцией распределения случайного процесса (СП) и обозначают F(x; t)=P(Хt f(x; t)=∂F(x; t) / ∂x.

Слайд 4

n-мерной функцией и n-мерной плотностью распределения СП Хt назовем
(*)

Слайд 5

Множество всех конечномерных законов распределения (*) будем называть законом распределения СП

Хt. Математическим ожиданием, дисперсией и средним квадратическим отклонением СП Хt будем называть функции (1)

Слайд 6

– центрированный СП. Ковариационным и корреляционным моментами СП Хt называются функции

(2)

Слайд 7

Нормированной корреляционной функцией сечений Хt, Хt’ СП Хt будем называть функцию
Числовые

характеристики получены для СВ Хt и Хt’ - сечений СП, то операции M, D, R, K, ρ обладают свойствами, установленными в теоремах о числовых характеристиках СВ и векторов

Слайд 8

Если X(t) и Y(t) – два СП, определенные на {Ω, F,

P} и Т, то их взаимной корреляционной функцией будем называть
СП X(t) называют гильбертовым, если существует для любого t∈T

Слайд 9

Теорема: СП X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует

R(t, t’) для всех (t, t’)∈Т×Т.
Множество Т может быть дискретным и континуальным. В первом случае СП Хt называют процессом с дискретным временем, во втором – с непрерывным временем.
СП X(t) называется выборочно непрерывным, дифференцируемым и интегрируемым в точке ω∈Ω, если его реализация x(t)=x(t, ω) соответственно непрерывна, дифференцируема и интегрируема.

Слайд 10

СП X(t) называется непрерывным:
почти наверное (п.н.), если Р(А)=1
в среднем квадратическом

(с.к.), если
по вероятности (п.в.), если

Слайд 11

Каноническим разложением СП X(t) называют его представление в виде
где Vi

– коэффициенты – СВ с характеристиками M(Vi )=0, D(Vi)= Di,
M(Vi Vj)=0, которые называют элементарными; а ϕi(t) – координатные функции канонического разложения процесса X(t).

Слайд 12

11.2. Основные понятия и определения стационарных СП
СП X(t) называют стационарным в

узком смысле, если F(x1,…,xn; t1,…,tn)= F(x1,…,xn; t1 +Δ,…, tn +Δ) при произвольных n≥1, x1,…,xn, t1,…,tn, Δ; t1 , ti+ Δ ∈T. Здесь F(x1,…,xn; t1,…,tn) – n-мерная ФР СП X(t).
СП X(t) называют стационарным в широком смысле, если m(t)=m(t+ Δ), K(t,t’)=K(t+Δ, t’+Δ) , t’+Δ, t+Δ, t, t’ ∈ T (3).
Для процесса, стационарного в широком смысле, можно записать

Слайд 13

m(t)= mx(0)=const, D(t)=K(t, t)=K(0,0)=const, K(t, t’)=K(t-t’,0)=K(0, t’-t).
K(t,t’)=k(τ)=k(- τ), τ =t’-t.

k(τ) – четная функция, при этом k(0)=D=σ2; |k(τ) | ≤k(0), D – дисперсия СП X(t).

Слайд 14

11.3. Спектральное разложение стационарных СП
- стационарный СП, определенный на отрезке времени

[0,T] с корреляционной функцией k(τ), определенной на отрезке
[-T, T]. Поскольку k(τ) – четная функция, то ее можно разложить в ряд Фурье (4)

Слайд 15

(k=1, 2,…)
(5)
координатные функции cos λkt, sin λkt (k=0, 1,…) и

коэффициенты канонического разложения Uk, Vk (k=0, 1,…) с характеристиками

Слайд 16

М(Uk)=М(Vk)=0, D(Uk)=D(Vk)=Dk,
М(Ui Uj)=М(Vi Vj)=0, M(Vi Uj)=0 (6)
(7)
Это выражение называют

дискретным спектральным разложением стационарного СП.
Полагая t’=t и учитывая формулу
K(t, t) =D[X(t)], найдем

Слайд 17

Множество пар {(λk, Dk)} называют спектром дисперсий спектрального разложения (4).
Если Т=∞,

то вместо дискретного применяется так называемое непрерывное или интегральное каноническое разложение стационарного СП.
(8)
U(λ), V(λ) – случайные функции вещественной переменной λ: 0≤λ≤∞ с характеристиками

Слайд 18

M[U(λ)]=M[V(λ)]=0, KU(λ,λ’)=M[U(λ)U(λ’)]=s(λ)δ(λ - λ’), (9)
KV(λ,λ’)=M[V(λ)V(λ’)]=s(λ)δ(λ - λ’), KUV(λ,λ’)=M[U(λ)V(λ)]=0
s(λ)

– некоторая вещественная функция, называемая спектральной плотностью стационарного СП; δ(λ) – функция Дирака; U(λ), V(λ) – так называемые некоррелированные белые шумы с интенсивностью s(λ).
(10)

Слайд 19

(11)
s(λ) и k(τ)
спектральная функция.

Слайд 20

Термин «шум» обозначает нежелательные электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических

системах. Наличие шума, наложенного на сигнал, «затеняет», или маскирует, сигнал, это ограничивает способность приемника принимать точные решения о значении символов, а следовательно, ограничивает скорость передачи информации. Природа шумов различна и включает как естественные, так искусственные источники. Искусственные шумы – это шумы от родственных источников

Слайд 21

электромагнитного излучения (искровое зажигание). Естественные шумы исходят из атмосферы, солнца и

др. галактических источников. Хорошее техническое проектирование может устранить большинство шумов или нежелательные эффекты посредством фильтрации, экранирования и т.д. Но существует один естественный шум, называемый тепловым, который устранить нельзя. Тепловой шум вызывается тепловым движением электронов. Тепловой шум можно описать как гауссов случайный

Слайд 22

процесс с нулевым средним. Основной спектральной характеристикой теплового шума является то,

что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот. Когда мощность шума имеет единообразную спектральную плотность, то шум называется белым. Прилагательное «белый» используется в том смысле, что и для белого света содержащего равные доли всех частот видимого диапазона электромагнитного излучения. Белый шум представляет собой весьма полезную абстракцию,

Стационарные случайные процессы

Содержание

11.1. Основные понятия и определения СП Вещественную переменную t будем называть

называть случайным процессом; случайную величину Хt – сечением случайного процесса в

n-мерной функцией и n-мерной плотностью распределения СП Хt назовем (*)

Множество всех конечномерных законов распределения (*) будем называть законом распределения СП

– центрированный СП. Ковариационным и корреляционным моментами СП Хt называются функции

Нормированной корреляционной функцией сечений Хt, Хt’ СП Хt будем называть функциюЧисловые

Если X(t) и Y(t) – два СП, определенные на {Ω, F,

Теорема: СП X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует

СП X(t) называется непрерывным: почти наверное (п.н.), если Р(А)=1 в среднем квадратическом

Каноническим разложением СП X(t) называют его представление в виде где Vi

11.2. Основные понятия и определения стационарных СПСП X(t) называют стационарным в

m(t)= mx(0)=const, D(t)=K(t, t)=K(0,0)=const, K(t, t’)=K(t-t’,0)=K(0, t’-t). K(t,t’)=k(τ)=k(- τ), τ =t’-t.

11.3. Спектральное разложение стационарных СП - стационарный СП, определенный на отрезке времени

(k=1, 2,…)(5) координатные функции cos λkt, sin λkt (k=0, 1,…) и

М(Uk)=М(Vk)=0, D(Uk)=D(Vk)=Dk, М(Ui Uj)=М(Vi Vj)=0, M(Vi Uj)=0 (6) (7)Это выражение называют

Множество пар {(λk, Dk)} называют спектром дисперсий спектрального разложения (4).Если Т=∞,

M[U(λ)]=M[V(λ)]=0, KU(λ,λ’)=M[U(λ)U(λ’)]=s(λ)δ(λ - λ’), (9) KV(λ,λ’)=M[V(λ)V(λ’)]=s(λ)δ(λ - λ’), KUV(λ,λ’)=M[U(λ)V(λ)]=0 s(λ)

(11)s(λ) и k(τ) спектральная функция.