Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

•

•

•

•

А

М

А

А

α

α

α

β

1.Какова бы ни была плоскость, существуют
точки, принадлежащие этой плоскости

Параллельность прямой и плоскости

α

а

Прямую и плоскость называют параллель-
ными, если они не

Параллельность прямой и плоскости

Признак

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна
прямой, принадлежащей этой

Параллельность плоскостей

Две плоскости называются парал-
лельными, если они не пересекаются.

α //

Параллельность плоскостей

Свойства

α

β

γ

Если две различные плоскости парал-
лельны третьей, то они паралельны
между

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямую, пересекающую плоскость,
называют перпендикулярной к этой
плоскости,

Перпендикулярность прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум
пересекающимся

Перпендикулярность прямой и плоскости

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

•

•

α

а

b

Если плоскость перпендикулярна одной

Теорема о трех перпендикулярах

α

А

О

В

с

Если прямая на плоскости перпенди-
кулярна проекции наклонной на

Перпендикулярность плоскостей

α

β

γ

Две пересекающиеся плоскости
называют перпендикулярными, если
третья плоскость, перпендикулярная
прямой

Перпендикулярность плоскостей

Признак

Свойство

Если плоскость проходит
через прямую, перпенди-
кулярную другой плоскос-
ти, то

Углы в пространстве

α

•

•

┐

А

В

О

•

Углом между прямой и пересекающей
ее плоскостью называют угол, обра-
зованный

Линейный угол двугранного угла

α

β

с

А

М

В

Линейным углом двугранного угла
называют угол между лучами,

Практические приемы построения линейного угла

β

α

с

•

А

М

В

<АМВ- линейный

А

С

М

В

О

S

SO-высота пирамиды
проводим ОМ ┴ ВС
соединяем S и

Угол между скрещивающимися прямыми

а

b

a1

b1

φ

Углом между скрещивающи-
мися прямыми называют угол
между пересекающимися

Призма

Призмой называют многогранник,
состоящий из двух плоских многоуголь-
ников, лежащих в разных

Свойства призмы

Основания призмы равны.
Основания призмы лежат в парал-
лельных плоскостях.
Боковые ребра призмы

Прямая призма

А

А1

В

В1

С

С1

D

D1

Призму называют прямой, если
ее боковые ребра перпендику-
лярны основаниям.

АА1 ┴

Правильная призма

Прямую призму называют правильной, если ее
основания являются правильными многоугольниками.

треугольная

\

\

/

\

\

\

\

четырехугольная

\

\

\

/

/

пятиугольная

\

\

\

\

/

/

шестиугольная

Параллелепипед

А

В

С

D

A1

B1

C1

D1

Параллелепипедом называют призму,
в основании которой лежит паралле-
лограмм.

свойства

У параллелепипеда все

Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед-это параллелепипед,
у которого основанием является прямоугольник.

а

b

c

d

Свойства

У прямоугольного параллелепипеда
все грани-прямоугольники
В

Пирамида

Пирамидой называют многогранник,
состоящий из плоского многоуголь-
ника(основания пирамиды),точки,
не лежащей в плоскости

Пирамида

АВСD- основание пирамиды
S-вершина
SA,SB,SC,SD- боковые ребра
ΔABS, ΔBSC, ΔCSD, ΔASD-бок.грани

Высота пирамиды- перпендикуляр,

Правильная пирамида

Пирамиду называют правильной, если ее основанием яв-
ляется правильный многоугольник, а

Правильная пирамида

Свойства

У правильной пирамиды боковые ребра равны и одинаково
наклонены к

Положение высоты в некоторых видах пирамид

1.Если все боковые ребра пирамиды равны или

Положение высоты в некоторых видах пирамид

2.Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены

Положение высоты в некоторых видах пирамид

3.Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены
к

Положение высоты в некоторых видах пирамид

4.Если только две боковые грани пирамиды одинаково

Положение высоты в некоторых видах пирамид

5.Если только одна боковая грань пирамиды перпенди-
кулярна

Положение высоты в некоторых видах пирамид

6.Если две смежные боковые грани пирамиды перпендику-
лярны

Положение высоты в некоторых видах пирамид

7.Если две несмежные боковые грани пирамиды перпенди-
кулярны

Усеченная пирамида

Если задана пирамида SABC и проведена
(A1B1C1) параллельная основанию пира-
миды ,

Усеченная пирамида

•

А

В

С

А1

С1

В1

О

Высотой усеченной пирамиды
называют расстояние между плос-
костями ее оснований.

А1О ┴

Цилиндр

О

О1

А

А1

Х

Х1

•

•

Цилиндром называют тело,
состоящее из двух кругов , не лежа-
щих

Цилиндр

Цилиндр называют прямым, если
его образующие перпендикулярны
плоскостям основания.

Свойства

Основания цилиндра параллельны и

Сечение цилиндра плоскостями

•

•

АВСD-осевое сечение-прямоугольник
AD=2R, AB=h

А

В

С

D

O

O1

•

•

K

L

M

N

O

O1

(KLM)llOO1, KLMN-прямоугольник
KL=MN=h- образующие

Сечение цилиндра плоскостями

•

•

•

Плоскость, параллельная плоскости
основания цилиндра, пересекает его
боковую поверхность по окружности,
равной

Конус

•

•

S

O

X

A

B

Конусом называют тело, состоящее
из круга, точки, не лежащей в плос-
кости

Конус

•

Конус называется прямым, если SO ┴(AOB)

S

O

A

B

Свойства

Образующие конуса равны.SА=SB=ℓ
SO- высота

Сечение конуса плоскостями

Осевое сечение

А

О

В

S

ΔSAB-осевое сечение;
ΔSAB-равнобедренный
SA=SB=ℓ-образующие

Сечение плоскостью, проходящей
через вершину

S

О

K

M

ΔSMK- равнобедренный;
SM=SK=ℓ-образующие

Сечение конуса плоскостями

•

О

О1

S

Плоскость, параллельная плоскости
основания конуса, пересекает конус
по кругу, а боковую поверхность-

Усеченный конус

•

•

О

О1

В

А

S

Если в данном конусе проведена
плоскость, параллельная его осно-
ванию и

Усеченный конус

Свойства

•

•

О

О1

К

М

Т

Р

Осевое сечение усеченного конуса-
равнобокая трапеция, т.е.
КМТР-трапеция,КМ=ТР.
Усеченный конус образуется

Сфера и шар

•

А

R

Сферой называют тело, состоящее из
всех точек пространства, находящихся
на