Аксиомы, теоремы и методика их изучения в курсе математики средней школы

Август 8, 2022

Главная
Математика
Аксиомы, теоремы и методика их изучения в курсе математики средней школы

Содержание

2. План 1. Суждения и их виды. Место аксиом и теорем в школьном курсе математики. 2. Теоретические
3. Дополнительная рекомендуемая литература Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе, М.: Просвещение, 2000 Далингер В.А. Методика
4. Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается относительно предметов, их свойств и отношений.
5. Виды суждений а) по объёму отображаемых предметов: частные и общие б) по качеству отображаемых предметов: утвердительные
6. Виды суждений Общеутвердительные Пример: Все квадраты являются прямоугольниками Общеотрицательные Пример: Никакие треугольники не являются квадратами Частноутвердительные
7. Формы словесного выражения суждений Категорическая «Вертикальные углы равны» Условная «Если сторона и два прилежащих к ней
8. Аксиомы – утверждения, принимаемые без доказательства в данной теории Теоремы – утверждения, истинность которых устанавливается посредством
9. Структура теоремы: S – условие, Р – заключение S => P По структуре: простые и сложные
10. Виды теорем: 1. Прямая S => P В параллелограмме противоположные углы равны 2. Обратная P =>
11. Необходиммые и достаточные условия Если S => Р – истинное высказывание, то Р называют необходимым условием
12. Примеры «В параллелограмме противолежащие углы равны» «Четырёхугольник – параллелограмм» - достаточное условия для равенства его противолежащих
13. Структура доказательства Тезис – то что нужно доказать Доводы (аргументы) – то, что используется при доказательстве
14. Виды доказательств: Прямое Косвенное а) метод от противного б) разделительное доказательство
15. Примеры: а) прямое доказательство «В прямоугольнике диагонали равны» Дано: АВСД -прямоугольник Доказать, что АС = ВД
16. Примеры: б) косвенное доказательство «Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной
17. Примеры: б) косвенное доказательство «Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной
18. Воспитание потребности в доказательных рассуждениях осуществляется при использовании Приёмов, показывающих ограниченность опытно-индуктивных обоснований Приёмов, иллюстрирующих эффективность
19. Примеры зрительных иллюзий
20. Примеры зрительных иллюзий
21. Примеры упражнений 2-ого вида Верны ли утверждения: а) Все ломаные состоят из трёх звеньев б) Всякий
22. Пример задачи, включающий элементы док-ва теоремы о вписанном угле: Дано: ∟АВС –вписанный ∟АОС = 600 Найти
23. Этапы в изучении теорем Мотивация изучения теоремы Ознакомление с фактом отраженным в теореме Формулирование теоремы, усвоение
24. Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремы Пример 1.: 9 класс, Формула n – ого
25. Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремы Пример 2. 8 класс, теорема о вписанном угле
26. Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны» Дано: АВСД -прямоугольник Доказать, что АС = ВД Доказательство Рассмотрим ∆
27. Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны» Дано: АВСД -прямоугольник Доказать, что АС = ВД Доказательство:
29. Примеры упражнений на усвоение теоремы Для усвоения одного из свойств неравенств можно предложить следующее упражнение: Объясните,
31. Скачать презентацию

Слайд 2

План
1. Суждения и их виды. Место аксиом и теорем в школьном

курсе математики.
2. Теоретические сведения о теоремах и их доказательствах.
3. Организация работы с учащимися по изучению теорем.

Слайд 3

Дополнительная рекомендуемая литература
Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе, М.: Просвещение,

2000
Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений, М.: Просвещение, 2006
Грудёнов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Книга для учителя.- М.: Просвещение, 1990

Слайд 4

Суждение -
форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается относительно

предметов, их свойств и отношений.
Пример.
1. ∆ АВС равнобедренный.
2. Будет ли ∆ АВС равнобедренным?

S – субъект суждения, Р - предикат (то, что утверждается или отрицается
S есть Р

Слайд 5

Виды суждений
а) по объёму отображаемых предметов: частные и общие
б) по качеству

отображаемых предметов: утвердительные и отрицательные

Слайд 6

Виды суждений
Общеутвердительные
Пример: Все квадраты являются прямоугольниками
Общеотрицательные
Пример: Никакие треугольники не являются квадратами
Частноутвердительные
Пример:

Некоторые треугольники являются равнобедренными
Частноотрицательные
Пример: Существуют квадратные уравнения, не являющиеся приведёнными

Слайд 7

Формы словесного выражения суждений
Категорическая
«Вертикальные углы равны»
Условная
«Если сторона и два прилежащих

к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны»

Слайд 8

Аксиомы – утверждения, принимаемые без доказательства в данной теории
Теоремы – утверждения,

истинность которых устанавливается посредством доказательства

Слайд 9

Структура теоремы:
S – условие, Р – заключение
S => P
По структуре:
простые и

сложные

Слайд 10

Виды теорем:
1. Прямая S => P
В параллелограмме противоположные углы равны
2. Обратная

P => S
Если в четырёхугольнике противоположные углы равны, то он является параллелограммом
_ _
3. Противоположная к прямой S => P
Если четырёхугольник не является параллелограммом, то его противоположные углы не равны
_ _
4. Противоположная к обратной P => S
Если в четырёхугольнике противоположные углы не равны, то он не является параллелограммом

Слайд 11

Необходиммые и достаточные условия
Если S => Р – истинное высказывание, то

Р называют необходимым условием для S
S – достаточным условием для Р
Если S <=> P – истинное высказывание,то
S – необходимое и достаточное условие для Р
Р – необходимое и достаточное условие для S

Слайд 12

Примеры
«В параллелограмме противолежащие углы равны»
«Четырёхугольник – параллелограмм» - достаточное условия для

равенства его противолежащих углов.
«Равенство противолежащих углов четырёхугольника» – необходимое условие того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом
«Диагонали прямоугольника равны»
«Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник»
«Равенство диагоналей паралелограмма» - необходимое и достаточное условие для того, чтобы параллелограмм был прямоугольником

Слайд 13

Структура доказательства
Тезис – то что нужно доказать
Доводы (аргументы) – то, что

используется при доказательстве
Демонстрация – способ логической связи между тезисом и аргументами (способ рассуждения)

Слайд 14

Виды доказательств:
Прямое
Косвенное
а) метод от противного
б) разделительное доказательство

Слайд 15

Примеры: а) прямое доказательство
«В прямоугольнике диагонали равны»
Дано: АВСД -прямоугольник
Доказать, что АС =

ВД

Доказательство

Рассмотрим ∆ АСД и ∆ ДВА
∟ВАД = ∟СДА = 900 (т.к. АВСД – прямоугольник)
АД – общая
СД = АВ (как противоположные стороны прямоугольника)
Значит ∆ АСД = ∆ ДВА (по двум катетам)
АС =ВД (в равных треугольниках соответствующие стороны и углы равны)

Слайд 16

Примеры: б) косвенное доказательство
«Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в

точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их следования»

Слайд 17

Примеры: б) косвенное доказательство
«Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в

точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их следования»

II. Используется разделительное док-во.
Для точек А1, В1, С1 существует три варианта расположения:

Слайд 18

Воспитание потребности в доказательных рассуждениях осуществляется при использовании
Приёмов, показывающих ограниченность опытно-индуктивных

обоснований
Приёмов, иллюстрирующих эффективность логических рассуждений

Слайд 19

Примеры зрительных иллюзий

Слайд 20

Примеры зрительных иллюзий

Слайд 21

Примеры упражнений 2-ого вида
Верны ли утверждения:
а) Все ломаные состоят из трёх

звеньев
б) Всякий квадрат является прямоугольником
Существует ли треугольник, длины сторон которого равны 4 см, 6 см, 7 см?
Известно, что два смежных угла в сумме составляют 1800. Могут ли два смежных угла быть прямыми, тупыми и острыми?

Слайд 22

Пример задачи, включающий элементы док-ва теоремы о вписанном угле:
Дано:
∟АВС –вписанный
∟АОС

= 600
Найти ∟АВС

Слайд 23

Этапы в изучении теорем
Мотивация изучения теоремы
Ознакомление с фактом отраженным в теореме
Формулирование

теоремы, усвоение её содержания
Поиск пути доказательства
Доказательство теоремы
Усвоение теоремы: усвоение формулировки и доказательства теоремы, применение теоремы при решении задач
Установление связей теоремы с другими теоремами курса

Слайд 24

Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремы
Пример 1.: 9 класс,

Формула n – ого члена арифметической прогрессии
а) Найти первые 5 членов арифметической прогрессии -21,3; -18,6; ……
б) Найдите 100-й член арифметической прогрессии, заданной в первом задании.
в) Попробуем найти формулу для вычисления член прогрессии с большими номерами.
а2 = а1 + d а100 = а1 + 99d
а3 = а2 + d = а1 + 2d an= a1 + (n-1)d
а4 = а3 + d = а1 + 3d
…………………….

Слайд 25

Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремы
Пример 2. 8 класс,

теорема о вписанном угле
«Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается»
Предлагаем выполнить лабораторную работу:
Построить окружность и вписанный в неё угол.
Для измерения градусной меры дуги, на которую опирается вписанный угол, построить соответствующий ей центральный угол.
Измерить градусные меры вписанного угла и градусную меру дуги, на которую он опирается.
Сравнить полученные данные и сделать вывод о соотношении градусных мер вписанного угла и дуги, на которую он опирается.

Организация работы с помощью «Живой математики»

Слайд 26

Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны»
Дано: АВСД -прямоугольник
Доказать, что АС =

ВД

Доказательство

Слайд 27

Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны»
Дано: АВСД -прямоугольник
Доказать, что АС =

ВД

Доказательство:

Слайд 28

Слайд 29

Примеры упражнений на усвоение теоремы
Для усвоения одного из свойств неравенств можно

предложить следующее упражнение:
Объясните, какие из следующих пар неравенств равносильны, а какие нет?
а) 3х > 4 и -6х > -8; б) 6х < 18 и х < 3;
в) и х > 70; г) и х<3.

Аксиомы, теоремы и методика их изучения в курсе математики средней школы

Содержание

План1. Суждения и их виды. Место аксиом и теорем в школьном

Дополнительная рекомендуемая литератураСаранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе, М.: Просвещение,

Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается относительно

Виды сужденийа) по объёму отображаемых предметов: частные и общиеб) по качеству

Формы словесного выражения сужденийКатегорическая «Вертикальные углы равны»Условная«Если сторона и два прилежащих

Аксиомы – утверждения, принимаемые без доказательства в данной теорииТеоремы – утверждения,

Структура теоремы:S – условие, Р – заключениеS => PПо структуре:простые и

Виды теорем:1. Прямая S => PВ параллелограмме противоположные углы равны2. Обратная

Необходиммые и достаточные условияЕсли S => Р – истинное высказывание, то

Примеры«В параллелограмме противолежащие углы равны»«Четырёхугольник – параллелограмм» - достаточное условия для

Структура доказательстваТезис – то что нужно доказатьДоводы (аргументы) – то, что

Виды доказательств:ПрямоеКосвенноеа) метод от противногоб) разделительное доказательство

Примеры: а) прямое доказательство«В прямоугольнике диагонали равны»Дано: АВСД -прямоугольникДоказать, что АС =

Примеры: б) косвенное доказательство«Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в

Примеры: б) косвенное доказательство«Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в

Воспитание потребности в доказательных рассуждениях осуществляется при использовании Приёмов, показывающих ограниченность опытно-индуктивных

Примеры зрительных иллюзий

Примеры зрительных иллюзий

Примеры упражнений 2-ого видаВерны ли утверждения:а) Все ломаные состоят из трёх

Пример задачи, включающий элементы док-ва теоремы о вписанном угле:Дано: ∟АВС –вписанный∟АОС

Этапы в изучении теоремМотивация изучения теоремыОзнакомление с фактом отраженным в теоремеФормулирование

Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремыПример 1.: 9 класс,

Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремыПример 2. 8 класс,

Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны»Дано: АВСД -прямоугольникДоказать, что АС =

Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны»Дано: АВСД -прямоугольникДоказать, что АС =

Примеры упражнений на усвоение теоремыДля усвоения одного из свойств неравенств можно

Похожие презентации

План
1. Суждения и их виды. Место аксиом и теорем в школьном

Дополнительная рекомендуемая литература
Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе, М.: Просвещение,

Суждение -
форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается относительно

Виды суждений
а) по объёму отображаемых предметов: частные и общие
б) по качеству

Формы словесного выражения суждений
Категорическая
«Вертикальные углы равны»
Условная
«Если сторона и два прилежащих

Аксиомы – утверждения, принимаемые без доказательства в данной теории
Теоремы – утверждения,

Структура теоремы:
S – условие, Р – заключение
S => P
По структуре:
простые и

Виды теорем:
1. Прямая S => P
В параллелограмме противоположные углы равны
2. Обратная

Необходиммые и достаточные условия
Если S => Р – истинное высказывание, то

Примеры
«В параллелограмме противолежащие углы равны»
«Четырёхугольник – параллелограмм» - достаточное условия для

Структура доказательства
Тезис – то что нужно доказать
Доводы (аргументы) – то, что

Виды доказательств:
Прямое
Косвенное
а) метод от противного
б) разделительное доказательство

Примеры: а) прямое доказательство
«В прямоугольнике диагонали равны»
Дано: АВСД -прямоугольник
Доказать, что АС =

Примеры: б) косвенное доказательство
«Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в

Примеры: б) косвенное доказательство
«Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в

Воспитание потребности в доказательных рассуждениях осуществляется при использовании
Приёмов, показывающих ограниченность опытно-индуктивных

Примеры упражнений 2-ого вида
Верны ли утверждения:
а) Все ломаные состоят из трёх

Пример задачи, включающий элементы док-ва теоремы о вписанном угле:
Дано:
∟АВС –вписанный
∟АОС

Этапы в изучении теорем
Мотивация изучения теоремы
Ознакомление с фактом отраженным в теореме
Формулирование

Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремы
Пример 1.: 9 класс,

Примеры организации этапов мотивации и раскрытия содержания теоремы
Пример 2. 8 класс,

Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны»
Дано: АВСД -прямоугольник
Доказать, что АС =

Теорема :«В прямоугольнике диагонали равны»
Дано: АВСД -прямоугольник
Доказать, что АС =

Примеры упражнений на усвоение теоремы
Для усвоения одного из свойств неравенств можно