Аналитическая геометрия

Август 6, 2022

Главная
Математика
Аналитическая геометрия

Содержание

2. Матрицы Матрицей порядка m × n называют прямоугольную таблицу чисел (вещественных или комплексных), содержащую m строк
3. Перестановки Всякое расположение чисел 1, 2,..., n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел
4. Определители Пусть А - квадратная матрица порядка n. Определителем этой матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений
5. Свойства определителя I. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.
6. Вычисление определителя Рекуррентная формула 1 Минором Мij элемента аij матрицы A порядка n называется определитель матрицы
7. Вычисление определителя Рекуррентная формула 2 Метод элементарных преобразований столбцов Выделяем строку i, в котором мы хотим
12. Операции над матрицами. Линейные операции Операция сложения - возможна только для матриц одинаковой размерности Складываются элементы
13. Операции над матрицами. Транспонирование матриц При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются местами Меняется размерность неквадратной
14. Операции над матрицами. Умножение матриц Умножение матриц – возможно, если число столбцов матрицы А равно числу
15. Умножается каждая строка матрицы слева на каждый столбец матрицы справа Обозначим: r1 r2 – строки матрицы
18. 799 802
20. Операции над матрицами. Единичная матрица. Обратная матрица Диагональная матрица (квадратная), у которой все диагональные элементы равны
21. Операции над матрицами. Обращение матриц Минором Мij элемента аij матрицы A порядка n называется определитель матрицы
22. Операции над матрицами. Обращение матрицы Процедура нахождения обратной матрицы: . Составляем матрицу А* = (а *ij)
27. Составляем матрицу n × 2n : (A E) В нашем распоряжении элементарные операции со строками 1)
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Матрицы
Матрицей порядка m × n называют прямоугольную таблицу чисел (вещественных или комплексных),

содержащую m строк и n столбцов.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк - порядком матрицы.

Слайд 3

Перестановки
Всякое расположение чисел 1, 2,..., n в некотором определенном порядке называется

перестановкой из n чисел
Обозначим N(i1,i2,... in) число беспорядков (инверсий) в перестановке (i1,i2,... in) т.е. таких пар чисел в ней, в которых большее число стоит впереди.
Например, в перестановке (4, 2,1,3) беспорядки образуют пары: (4,2), (4,1), (4,3), (2,1) и N (4, 2, 1, 3) =4.
Перестановка является четной.

Слайд 4

Определители
Пусть А - квадратная матрица порядка n. Определителем этой матрицы называется

алгебраическая сумма всевозможных произведений из n элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы А.
Во всяком таком произведении множители располагают в порядке следования столбцов.
Со знаком плюс берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов четная,
со знаком минус — те, у которых перестановка нечетная.

Слайд 5

Свойства определителя
I. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю,

то он равен нулю.
II. Если переставить две строки (два столбца) определителя, то он изменит знак.
III. Если две строки (два столбца) определителя одинаковы, то он равен нулю.
IV. Если две строки (два столбца) определителя пропорциональны, то он равен нулю.
V. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на некоторое число K, то сам определитель умножится на K.
VI. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде aij=bj+cj то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, прежние, а в i-й строке в первом определителе стоят элементы bj во втором — элементы cj.
Аналогичное свойство справедливо и для столбцов.
VII. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Слайд 6

Вычисление определителя Рекуррентная формула 1
Минором Мij элемента аij матрицы A порядка

n называется определитель матрицы (n — 1)-го порядка, получающийся из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

формула разложения определителя по i-й строке

формула разложения определителя по j-му столбцу

Слайд 7

Вычисление определителя Рекуррентная формула 2
Метод элементарных преобразований столбцов
Выделяем строку i, в

котором мы хотим получить (n —1) нулей.
Выделяем элемент aij , который мы хотим оставить ненулевым.
Из каждого столбца k≠j вычитаем линейную комбинацию оставшихся столбцов так чтобы коэффициент в позиции ik обращался в 0
Определитель будет равен (-1)i+jaij Mij
Аналогичная процедура может быть сформулирована для строк

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Операции над матрицами. Линейные операции
Операция сложения - возможна только для матриц

одинаковой размерности
Складываются элементы матрицы с одинаковыми индексами
Операция умножения на число – для любых матриц.
Все элементы матрицы умножаются на одно число

Слайд 13

Операции над матрицами. Транспонирование матриц
При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются

местами
Меняется размерность неквадратной матрицы: m × n → n × m

Слайд 14

Операции над матрицами. Умножение матриц
Умножение матриц – возможно, если число столбцов

матрицы А равно числу строк матрицы В.
Размерность матрицы: m × n ∙ n × p → m × p

В общем случае коммутативность нарушается AB ≠ BA

Слайд 15

Умножается каждая строка матрицы слева на каждый столбец матрицы справа
Обозначим:
r1

r2 – строки матрицы слева
с1 с2 – столбцы матрицы справа

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

799
802

Слайд 19

Слайд 20

Операции над матрицами. Единичная матрица. Обратная матрица
Диагональная матрица (квадратная), у которой

все диагональные элементы равны 1, называется единичной

где δij - символ Кронекера

AE=EA=A

Пусть А — квадратная матрица. Матрица В той же размерности называется обратной к А и обозначается В = А-1, если

Слайд 21

Операции над матрицами. Обращение матриц
Минором Мij элемента аij матрицы A порядка

n называется определитель матрицы (n — 1)-го порядка, получающийся из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется
число

Если выполнено условие det(A)≠0 матрица A имеет обратную
B=A-1 и ее элементы рассчитываются по формуле

Слайд 22

Операции над матрицами. Обращение матрицы
Процедура нахождения обратной матрицы: .
Составляем матрицу А*

= (а *ij) ‚ элементами которой являются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы
Транспонируем ее: А*T
Умножаем на (detA)-1
В результате получаем обратную матрицу:
A-1=A*T/det(A)

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27

Составляем матрицу n × 2n :
(A E)
В нашем распоряжении элементарные операции со строками
1)

перестановка строк;
2) умножение (деление) всей строки на одно и то же число не равное 0
3) прибавление к одной из строк любой другой, умноженной на. произвольное число.
Наша цель — получить единичную матрицу на месте А,

Операции над матрицами. 2-й способ нахождения обратной матрицы.

Слайд 28

Аналитическая геометрия

Содержание

Матрицы Матрицей порядка m × n называют прямоугольную таблицу чисел (вещественных или комплексных),

ПерестановкиВсякое расположение чисел 1, 2,..., n в некотором определенном порядке называется

ОпределителиПусть А - квадратная матрица порядка n. Определителем этой матрицы называется

Свойства определителяI. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю,

Вычисление определителя Рекуррентная формула 1Минором Мij элемента аij матрицы A порядка

Вычисление определителя Рекуррентная формула 2Метод элементарных преобразований столбцовВыделяем строку i, в

Операции над матрицами. Линейные операцииОперация сложения - возможна только для матриц

Операции над матрицами. Транспонирование матрицПри транспонировании строки и столбцы матрицы меняются

Операции над матрицами. Умножение матрицУмножение матриц – возможно, если число столбцов

Умножается каждая строка матрицы слева на каждый столбец матрицы справаОбозначим: r1

799802

Операции над матрицами. Единичная матрица. Обратная матрицаДиагональная матрица (квадратная), у которой

Операции над матрицами. Обращение матрицМинором Мij элемента аij матрицы A порядка

Операции над матрицами. Обращение матрицыПроцедура нахождения обратной матрицы: .Составляем матрицу А*

Составляем матрицу n × 2n :(A E)В нашем распоряжении элементарные операции со строками1)

Похожие презентации