Аппроксимация функций (продолжение)

Август 24, 2022

Главная
Математика
Аппроксимация функций (продолжение)

Содержание

2. Многочлен Лагранжа. Перейдем к случаю глобальной интерполяции. Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов
3. При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением
4. этим условиям при i = 0 отвечает многочлен вида Действительно, l0(x0) = 1. При х =
5. Аналогично ………………………………………………………
6. Подставляя l0 , l1 ,…, ln в L(x) получим эта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.
7. Из формулы для L(x)можно получить выражения для линейной (n = 1) и квадратичной (n = 2)
8. Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Лагранжа. интерполяционные многочлены Эрмита. Здесь наряду со значениями функции yi в
9. Многочлен Ньютона. рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. хi - хi-1 = h = const
10. Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах Составим разности значений функции: Эти значения
11. вторые разности функции: Аналогично составляются разности порядка k :
12. Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,
14. Аналогично для любого k можно написать Эту формулу можно записать и для значения разности в узле
15. Используя конечные разности, можно определить уk
16. Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:
17. График многочлена должен проходить через заданные узлы, Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена:
18. Найдем отсюда коэффициенты
19. Общая формула имеет вид
20. Подставляя эти выражения в формулу для N(x) получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:
21. Данную формулу часто записывают в другом виде. Для этого вводится переменная тогда
22. тогда Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.
23. Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента [х0, хn]. Однако с точки
24. Для правой половины отрезка [х0, хn]. разности лучше вычислять справа налево. В этом случае
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Многочлен Лагранжа.
Перейдем к случаю глобальной интерполяции.
Будем искать интерполяционный многочлен в

виде линейной комбинации многочленов степени n:

Слайд 3

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li(x) обращался в нуль во

всех узлах интерполяции, за исключением одного (i-го), где он должен быть равен единице.

Слайд 4

этим условиям при i = 0 отвечает многочлен вида
Действительно, l0(x0) =

1.
При х = х1, х2, ... , хn числитель выражения обращается в нуль.

Слайд 5

Аналогично
………………………………………………………

Слайд 6

Подставляя l0 , l1 ,…, ln в L(x) получим
эта формула определяет

интерполяционный многочлен Лагранжа.

Слайд 7

Из формулы для L(x)можно получить выражения для линейной (n = 1)

и квадратичной (n = 2) интерполяций:

Слайд 8

Существует несколько обобщений интерполяционного многочлена Лагранжа.
интерполяционные многочлены Эрмита.
Здесь наряду

со значениями функции yi в узлах xi задаются значения ее производной уi’.
Задача состоит в том, чтобы найти многочлен степени 2n + 1, значения которого и значения его производной в узлах xi удовлетворяют соответственно соотношениям

Слайд 9

Многочлен Ньютона.
рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. хi -

хi-1 = h = const (i = 1,2,...,n).
Величина h называется шагом.

Слайд 10

Введем понятие конечных разностей.
Пусть известны значения функции в узлах
Составим

разности значений функции:
Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.

Слайд 11

вторые разности функции:
Аналогично составляются разности порядка k :

Слайд 12

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,

Слайд 13

Слайд 14

Аналогично для любого k можно написать
Эту формулу можно записать и

для значения разности в узле xi:

Слайд 15

Используя конечные разности, можно определить уk

Слайд 16

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в

следующем виде:

Слайд 17

График многочлена должен проходить через заданные узлы,
Эти условия используем для

нахождения коэффициентов многочлена:

Слайд 18

Найдем отсюда коэффициенты

Слайд 19

Общая формула имеет вид

Слайд 20

Подставляя эти выражения в формулу для N(x) получаем следующий вид интерполяционного

многочлена Ньютона:

Слайд 21

Данную формулу часто записывают в другом виде.
Для этого вводится переменная

тогда

Слайд 22

тогда
Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

Слайд 23

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента

[х0, хn].
Однако с точки зрения повышения точности расчетов более целесообразно использовать эту формулу для вычисления значении функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка.

Слайд 24

Для правой половины отрезка [х0, хn]. разности лучше вычислять справа налево.

В этом случае