Cálculo numérico. Resolução de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem. (Aula 9)

Сентябрь 13, 2022

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Cálculo numérico. Resolução de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem. (Aula 9)

Содержание

2. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Equações diferenciais de 1a ordem Método de Euler
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma F(x, y(x), y’(x),
4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - APLICAÇÕES Na engenharia, a utilização de equações diferenciais tem como objetivo descrever o
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - CONCEITOS A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada
6. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL A solução de uma equação diferencial é uma função que não
7. PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) Para que a equação diferencial tenha solução única define-se o PVI
8. EXEMPLO 1. Dada a equação diferencial y’’ + 4y = 0, verifique se y = C1.cos2x
9. EXEMPLO 1 - CONTINUAÇÃO. y = C1.cos2x + C2.sen2x e y’ = -2C1.sen2x + 2C2.cos2x y(π/4)
10. MÉTODO DE EULER O método de Euler, também conhecido como método da reta secante, é um
11. MÉTODO DE EULER - CONTINUAÇÃO Do gráfico: y = yn+1 quando x = xn+1; h =
12. MÉTODO DE EULER - CONTINUAÇÃO Equação da reta: yn+1 = yn + tgα. (xn+1- xn) tgα
13. EXEMPLO 2 – Resolva a equação y’ = 1 – x + 4y com a condição
14. EXEMPLO 2 – CONTINUAÇÃO Solução yn+1 = yn + h.f(xn,yn) ⇒ yn+1 = yn + 0,01.(1
15. EXEMPLO 2 – CONTINUAÇÃO
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Equações diferenciais de 1a ordem
Método de Euler

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da

forma F(x, y(x), y’(x), y’’(x), ..., y(n)(x)) = 0 envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas. A variável x é independente enquanto y é dependente. O símbolo y(k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x).
Exemplos:

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - APLICAÇÕES
Na engenharia, a utilização de equações diferenciais tem

como objetivo descrever o comportamento dinâmico de sistemas físicos. Como, por exemplo, a equação diferencial que descreve o comportamento dinâmico de um circuito ou de um movimento harmônico simples.

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - CONCEITOS
A ordem da equação diferencial é a

ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas.
Equação diferencial ordinária é aquela em que a função y e suas derivadas só dependem de 1 variável.

(ordem 2 e grau 1)

(ordem 2 e grau 3)

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SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
A solução de uma equação diferencial é

uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada, isto é, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade.

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PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Para que a equação diferencial tenha solução

única define-se o PVI para uma equação diferencial de ordem n F(x,y,y’,y’’,...,yn)=0 como sendo a equação diferencial mais “n” equações do tipo:

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EXEMPLO 1.
Dada a equação diferencial y’’ + 4y = 0, verifique

se y = C1.cos2x + C2.sen2x é uma solução geral e resolva o problema de valor inicial com as seguintes condições:
Solução:
y = C1.cos2x + C2.sen2x ⇒ y’ = -2C1.sen2x + 2C2.cos2x
y’ = -2C1.sen2x + 2C2.cos2x ⇒ y’’ = -4C1.cos2x - 4C2.sen2x
Substituindo:
-4C1.cos2x - 4C2.sen2x +4.(C1.cos2x + C2.sen2x) = 0
0 = 0

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EXEMPLO 1 - CONTINUAÇÃO.
y = C1.cos2x + C2.sen2x e y’ =

-2C1.sen2x + 2C2.cos2x
y(π/4) =1
1 = C1.cos2(π/4) + C2.sen2(π/4)
1 = C1.cos(π/2) + C2.sen(π/2)
1 = C1.0 + C2.1
C2=1
y’(π/4) =0
0 = -2C1.sen2(π/4) + 2C2.cos2(π/4)
0 = -2C1.sen(π/2) + 2.1.cos(π/2)
0 = C1.1 + C2.0
C1=0
Solução particular: y = sen2x

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MÉTODO DE EULER
O método de Euler, também conhecido como método da

reta secante, é um dos métodos mais antigos que se conhece para a solução de equações diferenciais ordinárias
Seja uma função y’ = f (x, y) com a condição inicial de y = yn quando x = xn.

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MÉTODO DE EULER - CONTINUAÇÃO
Do gráfico:
y = yn+1 quando x

= xn+1;
h = xn+1- xn.(passo)

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MÉTODO DE EULER - CONTINUAÇÃO
Equação da reta:
yn+1 = yn +

tgα. (xn+1- xn)
tgα = dy/dx = y’ = f(xn,yn) (aproximadamente)
Substituindo tgα = f(xn,yn) e h = xn+1- xn, temos:
yn+1 = yn + h.f(xn,yn) (Fórmula de Euler)

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EXEMPLO 2 – Resolva a equação y’ = 1 – x

+ 4y com a condição y0(0)= 1 para o intervalo [0,2] com passo h = 0,01

Solução
yn+1 = yn + h.f(xn,yn) ⇒ yn+1 = yn + 0,01.(1 – x + 4y)
h = xn+1- xn ⇒ xn+1 = xn + h ⇒ xn+1 = xn + 0,01
n = 0
y1 = 1 + 0,01.(1 – 0 + 4.1) = 1,05
x1 = 0 + 0,01 = 0,01
n = 1
y2 = 1,05 + 0,01.(1 – 0,01 + 4.1,05) = 1,1019
x2 = 0,01 + 0,01 = 0,02

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EXEMPLO 2 – CONTINUAÇÃO
Solução
yn+1 = yn + h.f(xn,yn) ⇒ yn+1 =

yn + 0,01.(1 – x + 4y)
h = xn+1- xn ⇒ xn+1 = xn + h ⇒ xn+1 = xn + 0,01
n = 2
y3 = 1,1019 + 0,01.(1 – 0,02 + 4.1,1019) = 1,155776
x3 = 0,02 + 0,01 = 0,03
n = 3
y4= 1,155776 + 0,01.(1 – 0,03 + 4.1,155776) = 1,211707
x4= 0,03 + 0,01 = 0,04

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