Содержание
- 2. Пусть задана функция y = f(x) на (a,b). Точка x0 ∈ (a,b). Придадим аргументу x в
- 3. Определение 1. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если полное приращение представимо в
- 4. Пример Исследовать на дифференцируемость в точке x0 функцию f (x) = 4x2 – x + 8.
- 5. Определение 2. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если она в этой точке
- 6. Доказательство Необходимость. Дано: f ′(x). Надо доказать: Δy = P⋅Δx + α(Δx)⋅Δx, где: P = const,
- 7. Достаточность. Дано: Δy = P⋅Δx + α(Δx)⋅Δx. Надо доказать: существование f ′(x). Пусть : Δy =
- 8. Исходя из предыдущего, можно сказать, что f (x) дифференцируема в точке x0, если: Δy = f
- 9. Определение 3. Главная часть полного приращения функции Δy линейная относительно приращения аргумента Δx (а именно: f
- 10. Определение 4. Дифференциалом аргумента x в точке x0 называется его приращение Δx, т.е. по определению dx
- 11. Перефразируем формулу для дифференциала следующим образом: dy = f ′(x0)⋅dx, где x0 - произвольная точка. Отсюда:
- 12. Правила дифференцирования Пусть u = u(x), v = v(x). 1. d(u ± v) = du ±
- 13. Доказательство (продолжение) 2. d(uv) = (uv)′dx = (u′v + v′u)dx = = v(u′dx) + u(v′dx) =
- 14. Механический смысл дифференциала Возвращаемся к задаче о вычислении скорости. Пусть материальная точка совершает прямолинейное, вообще говоря
- 15. Геометрический смысл дифференциала Пусть дана функция y = f(x). Проведем касательную к графику функции в точке
- 16. Дифференциал: dy = df (x0) = f ′(x0)dx = tgα⋅dx = = (AD/MD)⋅MD = AD. Следовательно,
- 17. Инвариантность формы дифференциала (Инвариантность – неизменность). Рассмотрим функцию y = f(x). Ее дифференциал dy = f
- 18. Замечание. Форма дифференциала dy = f ′(x)⋅Δx свойством инвариантности в отличие от формы dy = f
- 19. Применение дифференциала при приближенных вычислениях Как известно, если функция y = f (x) дифференцируема в точке
- 20. f (x) – f (x0) ≈ f ′(x0)(x – x0), или f (x) ≈ f (x0)
- 21. Примеры № 1 f (x) = (1 + x)μ. x0 = 0, Найдем: f (0) =
- 22. № 2 f (x) = ln(1 + x). x0 = 0, Найдем: f (0) = ln(1
- 23. № 3 f (x) = ex. x0 = 0, Найдем: f (0) = e0 = 1,
- 24. № 4 f (x) = sinx. x0 = 0, Найдем: f (0) = sin0 = 0,
- 25. Пример Вычислить приближенно с помощью дифференциала .
- 26. Таблица дифференциалов Она получается из таблицы производных по формуле: df(x) = f ′(x)dx. Каждая строчка таблицы
- 32. Дифференциалы высших порядков Пусть задан дифференциал dy = f ′(x)dx. В частности, он является функцией x.
- 34. Скачать презентацию